机器学习--XGBoost

1、模型思想

XGBoost是GBDT改良版，都是通过多个弱学习器，不断地减少残差。GBDT主要是对残差求一阶导，向负梯度的方向拟合残差，而XGBoost运用了泰勒展开，考虑到了二阶导数。

2、公式推导

每次的迭代都是前面的弱学习器组合上新的学习器，表示为：

$$\hat{y}_i^{(t)} = \hat{y}_i^{(t-1)}+f_t(x_i)$$
目标函数可以表示为：
$$loss = \sum^n_{i=1}l(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)}+f_t(x_i))+\Omega$$
其中 $\Omega$是正则项，为了防止过拟合，对树的数量和叶子结点的指加入了惩罚项：
$$\Omega = \gamma T + \frac{1}{2}\lambda\sum^T_{j=1}w_j^2$$
将 $l(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)})$看作是 $x$， $f_t(x_i)$看作是 $\Delta x$，对损失函数进行泰勒展开：
$$loss \approx \sum^N_{i=1} [ l(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)}) +g_if_t(x_i)+\frac{1}{2}h_if_t^2(x_i)]+\Omega$$
其中 $g_i$和 $h_i$分别是一阶导和二阶导，这个导数取决于选择什么损失函数，例如MAE，MSE。
$l(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)})$这一项，是由前面的弱学习器组成，不会发生改变，可以看成常数项，然后损失函数可以变成：
$$loss \approx \sum^N_{i=1} （g_if_t(x_i)+\frac{1}{2}h_if_t^2(x_i))+\gamma T + \frac{1}{2}\lambda\sum^T_{j=1}w_j^2$$
1到N是遍历样本，比较繁琐，把遍历样本转化为遍历叶子节点，损失函数变成：
$$loss \approx \sum^T_{i=1}[G_iw_i+\frac{1}{2}(H_i+\lambda)w_i^2]+\gamma T$$
其中 $G_i$和 $H_i$分别是这个叶子节点上所有数据的loss的一阶导数和二阶导数的和。
然后目标函数对 $w_i$求偏导数，让偏导数为0可以解除每个树叶节点的值 $w_i$：
$$\frac{\partial loss}{\partial w_i} = -\frac{1}{2}\sum^T_{i=1}\frac{G_j^2}{H_j+\lambda} + \gamma T =0$$
解得：
$$w_i = -\frac{G_j}{H_j+\lambda}$$
回带得到损失函数是：
$$loss = -\frac{1}{2}\sum^T_{i=1}\frac{G_i^2}{H_i^2 +\lambda} +\gamma T$$
与AdaBoost不同的是，AdaBoost基分类器用的是CART决策树，分隔的标准是gini系数，XGBoost则是用这个推出来的损失函数进行分隔。
让这个损失函数下降越多越好，也就是 $\frac{G^2}{H+\lambda}$越大越好，所以XGBoost的信息增益是：
$$Gain = \frac{1}{2}[\frac{G_L^2}{H_L+\lambda}+ \frac{G_R^2}{H_R+\lambda} - \frac{(G_L+G_R)^2}{H_L+H_R+\lambda}] - \gamma$$
因为每次分隔会多出一个树，所以要减去 $\gamma$。