我们知道mH(N)和break point会有关系，我们再进行上限处理，将mH(N)更加一般化为B(N,k)。N个数据中，每个点有叉和圈两种情况，任意k个数据都不能出现shatter，这样的数据种类个数最大值就是B(N,k)。B(N,k)是所有break point等于k的mH(N)的上限，我们不再考虑具体hypothesis是什么。
现在来讨论B(N,k)应该是多少。对于k=1的那一列，因为break point是1，所以任何N个数据都只能有一种情况，再加多一种就会有两个点shatter；对于k>N，B(N,k)=2^N；对于k=N，为了不shatter，只要减去一种情况，则B(N,k)=2^N-1;对于N>k(只要有break point，数据N一般都会大于break point，所以这是最关键的情形)，我们得到公式：
所以，
最终我们通过推导得到：B(N,k)的上限确实是一个多项式。
我们可以说2D perceptrons的成长函数mH(N)是个多项式
值得注意的是，2D perceptrons的mH(4)=14，而它的bounding function B(4,4)=2^4-1=15，从这可以看出，B(N,k)确实是mH(N)的上限。
我们最后想要用mH(N)代替M，然而实际上整个式子还要经过一些复杂推导，最后是：
