[Luogu P4774] [BZOJ 5418] [NOI2018]屠龙勇士

题目描述

小D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

游戏的目标是按照编号 $1 \rightarrow n$ 顺序杀掉 $n$ 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 $a_i$ 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 $p_i$ ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值恰好为 $0$ 时它才会死去。
游戏开始时玩家拥有 $m$ 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。小D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得ION2018 的参赛资格，于是小D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：
每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择攻击力最低的一把剑作为武器。
机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 $x$ 次，使巨龙的生命值减少 $x \times ATK$ 。
之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 $p_i$ 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 $0$ ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 $x$ 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 $-1$ 即可。

输入输出格式

输入格式：

从文件dragon.in 中读入数据。

第一行一个整数 $T$ ，代表数据组数。

接下来 $T$ 组数据，每组数据包含 $5$ 行。

每组数据的第一行包含两个整数， $n$ 和 $m$ ，代表巨龙的数量和初始剑的数量;
接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的初始生命值 $a_i$ ;
接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的恢复能力 $p_i$ ;
接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示杀死第 $i$ 条巨龙后奖励的剑的攻击力;
接下来一行包含 $m$ 个正整数，表示初始拥有的 $m$ 把剑的攻击力。

输出格式：

输出到文件dragon.out 中。一共 $T$ 行。

第 $i$ 行一个整数，表示对于第 $i$ 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 $x$ ，如果答案不存在，输出 $−1$ 。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

59
-1

说明

第一组数据：

开始时拥有的剑的攻击力为 $\{1,9,10\}$ ，第 $1$ 条龙生命值为 $3$ ，故选择攻击力为 $1$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $59$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-56$ ，恢复 $14$ 次后生命值恰好为 $0$ ，死亡。
攻击力为 $1$ 的剑消失，拾取一把攻击力为 $7$ 的剑，此时拥有的剑的攻击力为 $\{7,9,10\}$ ，第 $2$ 条龙生命值为 $5$ ，故选择攻击力为 $7$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $413$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-408$ ，恢复 $68$ 次后生命值恰好为 $0$ ，死亡。
此时拥有的剑的攻击力为 $\{3,9,10\}$ ，第 $3$ 条龙生命值为 $7$ ，故选择攻击力为 $3$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $177$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-170$ ，恢复 $17$ 次后生命值恰好为 $0$ ，死亡。
没有比 $59$ 次更少的通关方法，故答案为 $59$ 。

第二组数据：不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出 $-1$ 。

【子任务】

测试点编号	$n$	$m$	$p_i$	$a_i$	攻击力	其他限制
1	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
2	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
3	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
4	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
5	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
6	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
7	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
8	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
9	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
10	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
11	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
12	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
13	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
14	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
15	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
16	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
17	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
18	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
19	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
20	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1

特性 1 是指：对于任意的 $i$ ， $a_i \le p_i$ 。

特性 2 是指： $\operatorname{lcm}(p_i) \le 10^6$ ，即所有 $p_i$ 的最小公倍数不大于 $10^6$ 。

对于所有的测试点， $T \le 5$ ，所有武器的攻击力 $\le 10^6$ ，所有 $p_i$ 的最小公倍数 $\le 10^{12}$ 。

保证 $T, n, m$ 均为正整数。

【提示】

你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。

解题分析

一道 $EXCRT$ 板题，我在同步赛上连暴力分都没拿满，真的是菜啊……

这道题无非是求这玩意：

A T K_{1} x \equiv l i f_{1} (m o d r e f_{1}) A T K_{2} x \equiv l i f_{2} (m o d r e f_{2}) \dots A T K_{n} x \equiv l i f_{n} (m o d r e f_{n})

$ATK_1x\equiv lif_1(mod\ ref_1) \\ATK_2x\equiv lif_2(mod\ ref_2) \\ \cdots \\ATK_nx\equiv lif_n(mod\ ref_n)$
的一组最小整数解。

$ATK_i$ 显然是确定的，我们用一个 $multiset$ 维护一下就好了，注意 $multiset$ 的 $erase$ 如果是 $erase$ 掉一个值的话是删除所有相同的值…

上面这个玩意看起来像 $EXCRT$ ，但是 $EXCRT$ 好像左边没有系数？那我们来化简一下。

A T K_{i} x + r e f_{i} y = l i f_{i}

$ATK_ix+ref_iy=lif_i$

这玩意我们可以用 $EXGCD$ 解出一组最小整数解, 大概是这样的：

A T K_{i} x_{0} + r e f_{i} y_{0} = g c d (A T K_{i}, r e f_{i}) l i f_{i} = N \times g c d (A T K_{i}, r e f_{i}) \frac{A T K_{i}}{g c d (A T K_{i}, r e f_{i})} x_{0} + \frac{r e f_{i}}{g c d (A T K_{i}, r e f_{i})} y_{0} = N ∵ g c d (\frac{A T K_{i}}{g c d (A T K_{i}, r e f_{i})}, \frac{r e f_{i}}{g c d (A T K_{i}, r e f_{i})}) = 1 ∴ x = N (m o d \frac{r e f_{i}}{g c d (A T K_{i}, r e f_{i})})

$ATK_ix_0+ref_iy_0=gcd(ATK_i,ref_i) \\ lif_i=N\times gcd(ATK_i,ref_i) \\\frac{ATK_i}{gcd(ATK_i, ref_i)}x_0+\frac{ref_i}{gcd(ATK_i,ref_i)}y_0=N \\ \because gcd(\frac{ATK_i}{gcd(ATK_i, ref_i)},\frac{ref_i}{gcd(ATK_i,ref_i)})=1 \\ \therefore x=N(mod\ \frac{ref_i}{gcd(ATK_i,ref_i)})$
注意判断是否有解。

那么之后我们就可以欢快地用 $EXCRT$ 化简了。式子在上一步处理之后都变成了这样：

x \equiv c_{1} (m o d p_{1}) x \equiv c_{2} (m o d p_{2}) \dots x \equiv c_{n} (m o d p_{n})

$x\equiv c_1(mod\ p_1) \\x\equiv c_2(mod\ p_2) \\ \cdots \\x\equiv c_n(mod\ p_n)$
那么我们对于其中两个式子作如下操作：

c_{i} + p_{i} y_{i} = c_{i + 1} + p_{i + 1} y_{i + 1} p_{i} y_{i} - p_{i + 1} y_{i + 1} = c_{i + 1} - c_{i}

$c_i+p_iy_i=c_{i+1}+p_{i+1}y_{i+1} \\ p_iy_i-p_{i+1}y_{i+1}=c_{i+1}-c_i$
可以解出这个玩意（同时判是否有解），然后代回得到：

k = c_{i} + p_{i} y_{i} x \equiv k (m o d l c m (p_{i}, p_{i + 1}))

$k=c_i+p_iy_i \\ x\equiv k(mod\ lcm(p_i,p_{i+1}))$
这是因为上面的

p_{i} y_{i} - p_{i + 1} y_{i + 1}

$p_iy_i-p_{i+1}y_{i+1}$ 必须同时加上

l c m (p_{i}, p_{i + 1})

$lcm(p_i,p_{i+1})$ 才能从新取到

c_{i + 1} - c_{i}

$c_{i+1}-c_i$ 。

大概就这样了，至于中间结果保存的变量类型？ €€£又不准用__int128，只好写龟速乘。

最后检查一下 $k$ 是否满足要求，因为可能模得太小，需要记录一个至少砍多少刀的值。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define MX 100050
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc);
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
std::multiset <ll> st;
std::multiset <ll> :: iterator it;
int dra, swd, T;
ll lif[MX], ref[MX], rew[MX], md, tim, mx, atk;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x = 1, y = 0, a;
    ll ret=  exgcd(b, a % b, x, y);
    ll buf = x; x = y, y = buf - a / b * y;
    return ret;
}
IN ll fmul(ll a, ll b, ll mod)
{
    a = (a % mod + mod) % mod, b = (b % mod + mod) % mod;
    ll ans = 0;
    W (b)
    {
        if(b & 1) ans = (ans + a) % mod;
        a = (a << 1) % mod; b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    in(T); ll buf, x, y, gcd, N, old, a, b;
    start: W (T--)
    {
        st.clear();
        in(dra), in(swd);
        for (R int i = 1; i <= dra; ++i) in(lif[i]);
        for (R int i = 1; i <= dra; ++i) in(ref[i]);
        for (R int i = 1; i <= dra; ++i) in(rew[i]);
        for (R int i = 1; i <= swd; ++i) in(buf), st.insert(buf);
        mx = tim = 0, md = 1;
        for (R int i = 1; i <= dra; ++i)
        {
            it = st.upper_bound(lif[i]);
            if(it != st.begin()) it--;
            atk = *it; st.erase(it), st.insert(rew[i]);
            mx = std::max(mx, (lif[i] - 1) / atk + 1);
            atk %= ref[i], lif[i] %= ref[i];
            if(!atk && lif[i]) {puts("-1"); goto start;}
            if(!atk && !lif[i]) continue;
            gcd = exgcd(atk, ref[i], x, y);//化简
            if(lif[i] % gcd) {puts("-1"); goto start;}
            N = lif[i] / gcd, ref[i] /= gcd;
            lif[i] = fmul((x % ref[i] + ref[i]) % ref[i], N, ref[i]);
            gcd = exgcd(md, ref[i], x, y);//合并
            if((tim - lif[i]) % gcd) {puts("-1"); goto start;}
            a = md, b = ref[i]; b /= gcd;
            x = fmul(x, ((lif[i] - tim) / gcd % b + b) % b, b);
            old = md; md = md / gcd * ref[i];
            tim = (tim + fmul(x, old, md) % md + md) % md;
        }
        printf("%lld\n", tim >= mx ? tim : tim + md * ((mx - tim - 1) / md + 1));//注意是否过小
    }
}