NTT简介

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算法用途

多项式乘法系数取模。

前置知识

原根，FFT。

原根

阶：若$(a,p)=1$，则满足$a^r \equiv 1 (\mod p)$的最小的$r$被称为$a$模$p$的阶。

原根：如果$r=\varphi(p)$，则称$a$为$\mod p$意义下的原根。

原根有一个判定方法：把$p-1$质因数分解，若$\forall\ i$，$a^{\frac{p-1}{p_i}}\not=p$，则$a$为$p$的原根。

不是所有数都有原根，但一般题目给你的都是有的。原根一般比较小，因此我们可以暴力枚举并用上面的方法判断。

NTT过程

根据欧拉定理的证明，原根有一个性质：$a$的$1$到$p-1$次模$p$都不相同。类比FFT的单位复数根，可以令$a_n=a^{\frac{p-1}n}$，然后直接把$a$当成$w$来做就好啦。当然要说明它们的性质类似：

$$a^{2k}_{2n}=a^{2k(p-1)/2n}=a^{k(p-1)/n}=a_{n}^k\\ \because a^{n/2}\not=a^{n}\\ (a_n^{n/2})^2=a_n^n\\ \therefore a_n^{k+n/2}=a_n^ka_n^{n/2}=-a_n^k\\ $$
然后一样做就好了。

模板

洛谷P3803

因为每一位不会太大，用998244353等于没模，可以假设要模。

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1<<21
#define F inline
#define P 998244353
using namespace std;
int n,m,l,a[N],b[N],c[N],r[N],g[(N)+1][2];
F char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    return l==r?EOF:*l++;
}
F int _read(){
    int x=0; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) ch=readc();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
    return x;
}
F void writec(int x){ if (x>9) writec(x/10); putchar(x%10+48); }
F void _write(int x){ writec(x),putchar(' '); }
F int ksm(int a,int b){
    int ret=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%P)
        if (b&1) ret=1ll*ret*a%P;
    return ret;
}
F void NTT(int *a,int f){
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int k=1;k<n;k<<=1){
        int wn=g[k<<1][f],w=1,x,y;
        for (int i=0;i<n;i+=k<<1,w=1)
            for (int j=0;j<k;j++,w=1ll*w*wn%P){
                x=a[i+j],y=1ll*w*a[i+j+k]%P;
                a[i+j]=(x+y)%P,a[i+j+k]=((x-y)%P+P)%P;
            }
    }
}
int main(){
    n=_read(),m=_read();
    for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=_read();
    for (int i=0;i<=m;i++) b[i]=_read();
    for (m+=n,n=1;n<=m;n<<=1) l++;
    for (int i=1;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
    for (int i=2;i<=n;i<<=1)
        g[i][1]=ksm(3,(P-1)/i),g[i][0]=ksm(g[i][1],P-2);
    NTT(a,1),NTT(b,1); for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
    NTT(c,0); for (int i=0;i<n;i++) c[i]=1ll*c[i]*ksm(n,P-2)%P;
    for (int i=0;i<=m;i++) _write(c[i]); return 0;
}