K近邻抠图（KNN matting）

概念

KNN matting提出了基于KNN的拉普拉斯矩阵计算方法，通过KNN构建邻接矩阵，进而得到度矩阵和拉普拉斯矩阵，带入$\alpha$的求解方程中。

抠图

抠图技术，把图像中一部分从其他部分分开出来。将图像分为两层，分出来那层成为前景层，图像中的其他部分称为背景层。
图像中每一点都是由前景颜色和背景颜色组合而成，其中前景颜色所占的比重称为alpha因子。颜色组合方程：

$$I=\alpha F+(1-\alpha)B$$
I, F, B分别表示图像上一点的合成色、前景色、背景色， $\alpha$是该点的alpha值。
仅仅知道I的情况下，求解alpha，F，B，这是一个约束不足（under-constrained）问题。
文中通过假设在很小的窗口内F和B为恒定值，进而将该问题归结为求下面的约束问题(论文中提取的定理)
$$\alpha = \arg \min \alpha 'L\alpha \\\\ s.t. \ \alpha(i)=S(i)$$

其中$S$是手工标记的区域，$S(i)$是S中的像素值。用下面这个公式来求解：

$$(L+\lambda D)\sum\limits_{i}^{n}\alpha_i=\lambda m$$
K近邻抠图的主要贡献在于提出了基于KNN的拉普拉斯矩阵计算方法。
1. 特征向量计算
给定像素i的特征向量定义如下：
$$X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)$$
其中h，s，v分别是HSV颜色空间的坐标值，(x,y)是像素i的空间坐标。
2. 内核函数计算
定义内核函数：
$$k(i,j)=1-\frac{\left\| X(i)-X(j) \right\|}{C}$$
C是权值调节系数，保证 $k(i,j) \in [0,1]$, ||·||是1范数，即两向量差的绝对值之和。
求拉普拉斯矩阵：
$$L=D-A$$
其中相似矩阵 $A_{ij}=k(i,j)$,对角矩阵 $D_{ii}=\sum\limits_{j}{A_{ij}}$
K近邻抠图给出了一种适合任何颜色任何维度的特征空间算法。利用Nonlocal抠图的非局部原理，通过使用K个最近邻像素来匹配非局部区域，并且提供了一个简单快速的算法来产生更高质量抠图结果，进一步利用语出共轭梯度法求解封闭形式解。

非局部原理

非局部原理的工作假设是，一个去噪像素i是由与它类似特征的像素与一个内核函数k(i,j)权重的加权和：

$$\begin{array}{l} E[X(i)] \approx \sum\limits_j {X(j)k(i,j)\frac{1}{{{D_i}}}} \\ k(i,j) = \exp ( - \frac{1}{{{h^2}}}\left\| {X(i) - X(j)} \right\|_g^2 - \frac{1}{{{h^2}}}d_{ij}^2)\\ {D_i} = \sum\limits_j {k(i,j)} \end{array}$$
其中 $X(i)$是像素i的特征向量， $d_{ij}$是像素i到j的距离，||·||是一个高斯范数，，h1和h2是常量。类似的得到 $\alpha$的预期值如下：
$$E[{\alpha _i}] \approx \sum\limits_j {{\alpha _j}k(i,j)\frac{1}{{{D_i}}}or{D_i}{\alpha _i} \approx } k{(i,j)^T}\alpha$$
其中α是由所有输入图像的α值组成的向量。
根据非局部原理，当条件分布 $E[{\alpha _i}|X(i) = X(j)] = {\alpha _j}$成立时，意味着有相同特征的像素将共享同样的α值。
因此，有 $D\alpha \approx A\alpha$, $L=D-A$称为集群拉普拉斯算子，基本上解决了二次最小化问题 $min_\alpha \sum{A_{ij}(\alpha_i-\alpha_j)^2}$.

步骤

1. 特征向量计算
   给定像素i的特征向量定义如下：
   $$X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)$$
   其中h，s，v分别是HSV颜色空间的坐标值，(x,y)是像素i的空间坐标。
2. 内核函数计算
   定义内核函数：
   $$k(i,j)=1-\frac{\left\| X(i)-X(j) \right\|}{C}$$
   C是权值调节系数，保证$k(i,j) \in [0,1]$,||·||是1范数，即两向量差的绝对值之和。
   求拉普拉斯矩阵：
   $$L=D-A$$
   其中相似矩阵$A_{ij}=k(i,j)$,对角矩阵$D_{ii}=\sum\limits_{j}{A_{ij}}$
3. 闭合形式解
   加入用户约束信息，封闭形式解的方程：
   $$(L+\lambda D)\sum\limits_{i}^{n}\alpha_i=\lambda m$$
   其中$\lambda$是约束系数，$m$是向量，用户对已知像素区域的标记