【学习笔记】Sparse Table算法

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RMQ问题

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(i,j)，返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。

ST算法

ST（Sparse Table，稀疏表，ST表）是用来解决RMQ问题的一种算法，预处理复杂度O(nlogn)，查询复杂度O(1)，不支持在线查询。

构造

ST表的构造采用了动态规划的思想，
状态表示：$st[i][j] = max_{k=j}^{j+2^i-1}a[k]$，即从j到j+2^i-1的最大（或最小）值。
初始状态：$st[0][j] = a[j]$
状态转移：$st[i][j] = max(st[i-1][j], st[i-1][j+2^{i-1}])$
$i取1到logn，j取1到n$，一共$O(nlogn)$个状态，每次转移复杂度$O(1)$，总构造复杂度$O(nlogn)$

查询

我们已经知道以任意一点开始了长度为2的幂次的区间最大值，如果要求长度为L的[x,y]区间内的最大值，就可以求[x,x+k],[y-k+1,y]这两个区间最大值的最大值，其中k是小于L的最大2的幂次。
即$max(st[t][x],st[t][y-2^t+1])，其中t=log2(y-x+1)$
log函数可以预处理一个数组，每次查询复杂度$O(1)$

代码

学习了一些C++类的知识，静态成员必须在类外定义及初始化，在类中只是声明，且在类外用双冒号表示这是一个类的静态成员。
因为不会写模板类，所以额外用了一个变量表示求最大还是最小，0表示求最小值，1表示求最大值。如果哪位巨巨有更好的方法请教教我。
另外，vector初始化第一个参数表示大小，第二个表示初始值，所以二维vector的初始化方式：vector<vector<int>> vvi(outsize, vector<int>(insize))

class SpraseTable
{
    static vector<int> Log;
    static void init()
    {
        Log[0] = -1;
        for(int i = 1; i < M; i++)
            Log[i] = Log[i / 2] + 1;
    }
    int n, type, t;
    vector<vector<int>> table;
    inline int fun(int a, int b)
    {
        return (a < b)^type ? a : b;
    }
public:
    SpraseTable(vector<int> &src, int _type) : n(src.size() - 1), type(_type)
    {
        if(!Log[0]) init();
        table = vector<vector<int>>(Log[n] + 1, vector<int>(n + 1));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            table[0][i] = src[i];
        for(int i = 1; i <= Log[n]; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                if(j + (1 << i) - 1 <= n)
                    table[i][j] = fun(table[i-1][j], table[i-1][j+(1<<(i-1))]);
    }
    inline int query(int x, int y)
    {
        t = Log[y - x + 1];
        return fun(table[t][x], table[t][y - (1 << t) + 1]);
    }
};vector<int> SpraseTable::Log(M);

其他

ST表蕴含了倍增的思想，下次再细学。
ST表维护的运算需要满足什么性质？首先肯定是半群上的，然后为什么这种做法不能用来求区间和？