Cholesky分解法又叫平方根法,是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵,为了消除LU分
解的局限性和误差的过分积累,采用了选主元的方法,但对于对称正定矩阵而言,选主元是不必要的。
定理:若对称正定,则存在一个对角元为正数的下三角矩阵,使得成立。
假设现在要求解线性方程组,其中为对称正定矩阵,那么可通过下面步骤求解
(1)求的Cholesky分解,得到
(2)求解,得到
(3)求解,得到
现在的关键问题是对进行Cholesky分解。假设
通过比较两边的关系,首先由,再由
这样便得到了矩阵的第一列元素,假定已经算出了的前列元素,通过
可以得到
进一步再由
最终得到
这样便通过的前列求出了第列,一直递推下去即可求出,这种方法称为平方根法。
代码:
-
#include <iostream>
-
#include <string.h>
-
#include <stdio.h>
-
#include <vector>
-
#include <math.h>
-
-
using
namespace
std;
-
const
int N =
1005;
-
typedef
double Type;
-
-
Type A[N][N], L[N][N];
-
-
/** 分解A得到A = L * L^T */
-
void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], int n)
-
{
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
Type sum =
0;
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
sum += L[k][i] * L[k][i];
-
sum = A[k][k] - sum;
-
L[k][k] =
sqrt(sum >
0 ? sum :
0);
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
{
-
sum =
0;
-
for(
int j =
0; j < k; j++)
-
sum += L[i][j] * L[k][j];
-
L[i][k] = (A[i][k] - sum) / L[k][k];
-
}
-
for(
int j =
0; j < k; j++)
-
L[j][k] =
0;
-
}
-
}
-
-
/** 回带过程 */
-
vector<Type> Solve(Type L[][N],
vector<Type> X,
int n)
-
{
-
/** LY = B => Y */
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
/** L^TX = Y => X */
-
for(
int k = n -
1; k >=
0; k–)
-
{
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[i][k];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
return X;
-
}
-
-
void Print(Type L[][N], const vector<Type> B, int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cout<<L[i][j]<<
” “;
-
cout<<
endl;
-
}
-
cout<<
endl;
-
vector<Type> X = Solve(L, B, n);
-
vector<Type>::iterator it;
-
for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)
-
cout<<*it<<
” “;
-
cout<<
endl;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
int n;
-
cin>>n;
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cin>>A[i][j];
-
}
-
vector<Type> B;
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
Type y;
-
cin>>y;
-
B.push_back(y);
-
}
-
Cholesky(A, L, n);
-
Print(L, B, n);
-
return
0;
-
}
-
-
/**data**
-
4
-
4 -2 4 2
-
-2 10 -2 -7
-
4 -2 8 4
-
2 -7 4 7
-
8 2 16 6
-
*/
用上述的方法需要进行开方,这有可能损失精度和增加运算量,为了避免开方,Cholesky分解有个改进的版本。
将对称正定矩阵通过分解成,其中是单位下三角矩阵,是对角均为正数的对角矩阵。把这
一分解叫做分解,是Cholesky分解的变形。对应两边的元素,很容易得到
由此可以确定计算和的公式如下
在实际计算时,是将的严格下三角元素存储在的对应位置上,而将的对角元存储在的对应的对角位置上。
类似地求解线性方程组的解步骤如下
(1)对矩阵进行分解得到
(2)求解,得到
(3)求解,得到
代码:
-
#include <iostream>
-
#include <string.h>
-
#include <stdio.h>
-
#include <vector>
-
#include <math.h>
-
-
using
namespace
std;
-
const
int N =
1005;
-
typedef
double Type;
-
-
Type A[N][N], L[N][N], D[N][N];
-
-
/** 分解A得到A = LDL^T */
-
void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], Type D[][N], int n)
-
{
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
A[k][k] -= A[i][i] * A[k][i] * A[k][i];
-
for(
int j = k +
1; j < n; j++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
A[j][k] -= A[j][i] * A[i][i] * A[k][i];
-
A[j][k] /= A[k][k];
-
}
-
}
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
memset(D,
0,
sizeof(D));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
D[i][i] = A[i][i];
-
L[i][i] =
1;
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < i; j++)
-
L[i][j] = A[i][j];
-
}
-
}
-
-
void Transposition(Type L[][N], int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < i; j++)
-
swap(L[i][j], L[j][i]);
-
}
-
}
-
-
void Multi(Type A[][N], Type B[][N], int n)
-
{
-
Type **C =
new Type*[n];
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
C[i] =
new Type[n];
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
{
-
C[i][j] =
0;
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
-
}
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
B[i][j] = C[i][j];
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
delete[] C[i];
-
C[i] =
NULL;
-
}
-
delete C;
-
C =
NULL;
-
}
-
-
/** 回带过程 */
-
vector<Type> Solve(Type L[][N], Type D[][N],
vector<Type> X,
int n)
-
{
-
/** LY = B => Y */
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
/** DL^TX = Y => X */
-
Transposition(L, n);
-
Multi(D, L, n);
-
for(
int k = n -
1; k >=
0; k--)
-
{
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
return X;
-
}
-
-
void Print(Type L[][N], Type D[][N], const vector<Type> B, int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cout<<L[i][j]<<
" ";
-
cout<<
endl;
-
}
-
cout<<
endl;
-
vector<Type> X = Solve(L, D, B, n);
-
vector<Type>::iterator it;
-
for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)
-
cout<<*it<<
" ";
-
cout<<
endl;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
int n;
-
cin>>n;
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cin>>A[i][j];
-
}
-
vector<Type> B;
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
Type y;
-
cin>>y;
-
B.push_back(y);
-
}
-
Cholesky(A, L, D, n);
-
Print(L, D, B, n);
-
return
0;
-
}
-
-
/**data**
-
4
-
4 -2 4 2
-
-2 10 -2 -7
-
4 -2 8 4
-
2 -7 4 7
-
8 2 16 6
-
*/
参考资料:http://class.htu.cn/nla/cha1/sect3.htm
转载自:https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/44656847
Cholesky分解法又叫平方根法,是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵,为了消除LU分
解的局限性和误差的过分积累,采用了选主元的方法,但对于对称正定矩阵而言,选主元是不必要的。
定理:若对称正定,则存在一个对角元为正数的下三角矩阵,使得成立。
假设现在要求解线性方程组,其中为对称正定矩阵,那么可通过下面步骤求解
(1)求的Cholesky分解,得到
(2)求解,得到
(3)求解,得到
现在的关键问题是对进行Cholesky分解。假设
通过比较两边的关系,首先由,再由
这样便得到了矩阵的第一列元素,假定已经算出了的前列元素,通过
可以得到
进一步再由
最终得到
这样便通过的前列求出了第列,一直递推下去即可求出,这种方法称为平方根法。
代码:
-
#include <iostream>
-
#include <string.h>
-
#include <stdio.h>
-
#include <vector>
-
#include <math.h>
-
-
using
namespace
std;
-
const
int N =
1005;
-
typedef
double Type;
-
-
Type A[N][N], L[N][N];
-
-
/** 分解A得到A = L * L^T */
-
void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], int n)
-
{
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
Type sum =
0;
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
sum += L[k][i] * L[k][i];
-
sum = A[k][k] - sum;
-
L[k][k] =
sqrt(sum >
0 ? sum :
0);
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
{
-
sum =
0;
-
for(
int j =
0; j < k; j++)
-
sum += L[i][j] * L[k][j];
-
L[i][k] = (A[i][k] - sum) / L[k][k];
-
}
-
for(
int j =
0; j < k; j++)
-
L[j][k] =
0;
-
}
-
}
-
-
/** 回带过程 */
-
vector<Type> Solve(Type L[][N],
vector<Type> X,
int n)
-
{
-
/** LY = B => Y */
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
/** L^TX = Y => X */
-
for(
int k = n -
1; k >=
0; k–)
-
{
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[i][k];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
return X;
-
}
-
-
void Print(Type L[][N], const vector<Type> B, int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cout<<L[i][j]<<
” “;
-
cout<<
endl;
-
}
-
cout<<
endl;
-
vector<Type> X = Solve(L, B, n);
-
vector<Type>::iterator it;
-
for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)
-
cout<<*it<<
” “;
-
cout<<
endl;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
int n;
-
cin>>n;
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cin>>A[i][j];
-
}
-
vector<Type> B;
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
Type y;
-
cin>>y;
-
B.push_back(y);
-
}
-
Cholesky(A, L, n);
-
Print(L, B, n);
-
return
0;
-
}
-
-
/**data**
-
4
-
4 -2 4 2
-
-2 10 -2 -7
-
4 -2 8 4
-
2 -7 4 7
-
8 2 16 6
-
*/
用上述的方法需要进行开方,这有可能损失精度和增加运算量,为了避免开方,Cholesky分解有个改进的版本。
将对称正定矩阵通过分解成,其中是单位下三角矩阵,是对角均为正数的对角矩阵。把这
一分解叫做分解,是Cholesky分解的变形。对应两边的元素,很容易得到
由此可以确定计算和的公式如下
在实际计算时,是将的严格下三角元素存储在的对应位置上,而将的对角元存储在的对应的对角位置上。
类似地求解线性方程组的解步骤如下
(1)对矩阵进行分解得到
(2)求解,得到
(3)求解,得到
代码:
-
#include <iostream>
-
#include <string.h>
-
#include <stdio.h>
-
#include <vector>
-
#include <math.h>
-
-
using
namespace
std;
-
const
int N =
1005;
-
typedef
double Type;
-
-
Type A[N][N], L[N][N], D[N][N];
-
-
/** 分解A得到A = LDL^T */
-
void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], Type D[][N], int n)
-
{
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
A[k][k] -= A[i][i] * A[k][i] * A[k][i];
-
for(
int j = k +
1; j < n; j++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
A[j][k] -= A[j][i] * A[i][i] * A[k][i];
-
A[j][k] /= A[k][k];
-
}
-
}
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
memset(D,
0,
sizeof(D));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
D[i][i] = A[i][i];
-
L[i][i] =
1;
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < i; j++)
-
L[i][j] = A[i][j];
-
}
-
}
-
-
void Transposition(Type L[][N], int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < i; j++)
-
swap(L[i][j], L[j][i]);
-
}
-
}
-
-
void Multi(Type A[][N], Type B[][N], int n)
-
{
-
Type **C =
new Type*[n];
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
C[i] =
new Type[n];
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
{
-
C[i][j] =
0;
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
-
}
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
B[i][j] = C[i][j];
-
}
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
delete[] C[i];
-
C[i] =
NULL;
-
}
-
delete C;
-
C =
NULL;
-
}
-
-
/** 回带过程 */
-
vector<Type> Solve(Type L[][N], Type D[][N],
vector<Type> X,
int n)
-
{
-
/** LY = B => Y */
-
for(
int k =
0; k < n; k++)
-
{
-
for(
int i =
0; i < k; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
/** DL^TX = Y => X */
-
Transposition(L, n);
-
Multi(D, L, n);
-
for(
int k = n -
1; k >=
0; k--)
-
{
-
for(
int i = k +
1; i < n; i++)
-
X[k] -= X[i] * L[k][i];
-
X[k] /= L[k][k];
-
}
-
return X;
-
}
-
-
void Print(Type L[][N], Type D[][N], const vector<Type> B, int n)
-
{
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cout<<L[i][j]<<
" ";
-
cout<<
endl;
-
}
-
cout<<
endl;
-
vector<Type> X = Solve(L, D, B, n);
-
vector<Type>::iterator it;
-
for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)
-
cout<<*it<<
" ";
-
cout<<
endl;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
int n;
-
cin>>n;
-
memset(L,
0,
sizeof(L));
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
for(
int j =
0; j < n; j++)
-
cin>>A[i][j];
-
}
-
vector<Type> B;
-
for(
int i =
0; i < n; i++)
-
{
-
Type y;
-
cin>>y;
-
B.push_back(y);
-
}
-
Cholesky(A, L, D, n);
-
Print(L, D, B, n);
-
return
0;
-
}
-
-
/**data**
-
4
-
4 -2 4 2
-
-2 10 -2 -7
-
4 -2 8 4
-
2 -7 4 7
-
8 2 16 6
-
*/
参考资料:http://class.htu.cn/nla/cha1/sect3.htm
转载自:https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/44656847