数据结构之Treap、RankTree（名次树）

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一、Treap

简单地说，Treap是一棵拥有键值、优先级两种权值的树。对于键值而言，它是BST，对于优先级而言，它是堆。它的插入、删除和查找的期望时间复杂度均为O(log n)

它在插入的时候，随机生成一个优先级，首先根据键值以BST的方式插入到Treap里，然后通过BST的旋转来维护优先级堆的性质，而旋转本身是不会破坏BST的性质的，这就保证了插入完成之后，仍然是一棵Treap

其它的没什么好说的，代码如下：

struct Node // Treap结点的定义
{
    Node* ch[2]; // 左右子树
    int r, v; // 优先级(越大，优先级越高)和键值
    Node(int v=0):v(v)  {   ch[0] = ch[1] = NULL; r = rand();}//注意要初始化随机种子srand(time(0))
    int cmp(const int& x)  const
    {
        if(x == v)  return -1;
        return x < v ? 0 : 1;
    }
};

void rotate(Node* &o, int d)//d=0代表左旋，d=1代表右旋,最终o仍然指向根
{
    Node* k = o->ch[d^1];
    o->ch[d^1] = k->ch[d];
    k->ch[d] = o;
    o = k;
}

void insert(Node* &o, int x)//在以o为根的子树插入键值x，修改o
{
    if(o == NULL)
    {
        o = new Node(x);
    }
    else
    {
        int d = o->cmp(x);
        insert(o->ch[d], x);
        if(o->ch[d]->r > o->r)
            rotate(o, d^1);
    }
}

void remove(Node* &o, int x)
{
    int d= o->cmp(x);
    if(d == -1)
    {
        if(o->ch[0] == NULL)        o = o->ch[1];
        else if(o->ch[1] = NULL)    o = o->ch[0];
        else
        {
            int d2 = (o->ch[0]->r > o->ch[1]->r ? 1 : 0);
            rotate(o, d2);
            remove(o->ch[d2], x);
        }
    }
    else
        remove(o->ch[d], x);
}

int find(Node* o, int x)//调用插入和删除前需要先find()是否存在
{
    while(o != NULL)
    {
        int d = o->cmp(x);
        if(d == -1) return 1;//存在
        else       o = o->ch[d];
    }
    return 0;//不存在
}

二、Rank Tree

名次树可以由Treap实现，树如其名，它在Treap的基础上增加了两个功能：

• Kth(k)：查找第k小的元素
• Rank(x)：x的名次，即x是第几小的元素

它的实现主要是在Treap的Node里增加一个size域，表示以它为根的子树的总结点数，并且增加一个maintain()操作，用于计算size，在旋转，删除，插入等操作后都需要调用maintain()来更新size()

代码如下：

// 使用Treap实现Rank Tree

#include<bits/stdc++.h>
struct Node // Rank Tree结点的定义
{
    Node* ch[2];// 左右子树
    int r, v;   // 优先级(越大，优先级越高)和键值
    int s;      // 以它为根的子树的总结点数
    Node(int v=0):v(v)  {   ch[0] = ch[1] = NULL; r = rand(); s = 1;}//注意要初始化随机种子srand(time(0))
    int cmp(const int& x)  const
    {
        if(x == v)  return -1;
        return x < v ? 0 : 1;
    }
    void maintain()
    {
        s = 1;
        if(ch[0] != NULL)   s += ch[0]->s;
        if(ch[1] != NULL)   s += ch[1]->s;
    }
};

void rotate(Node* &o, int d)//d=0代表左旋，d=1代表右旋,最终o仍然指向根
{
    Node* k = o->ch[d^1];
    o->ch[d^1] = k->ch[d];
    k->ch[d] = o;
    o->maintain();
    k->maintain();
    o = k;
}

void insert(Node* &o, int x)//在以o为根的子树插入键值x，修改o
{
    if(o == NULL)
        o = new Node(x);
    else
    {
        int d = (x < o->v ? 0 : 1);
        insert(o->ch[d], x);
        if(o->ch[d]->r > o->r)
            rotate(o, d^1);
    }
    o->maintain();
}

void remove(Node* &o, int x)
{
    int d= o->cmp(x);
    if(d == -1)
    {
        if(o->ch[0] == NULL)        o = o->ch[1];
        else if(o->ch[1] = NULL)    o = o->ch[0];
        else
        {
            int d2 = (o->ch[0]->r > o->ch[1]->r ? 1 : 0);
            rotate(o, d2);
            remove(o->ch[d2], x);
        }
    }
    else
        remove(o->ch[d], x);
    if(o != NULL)   o->maintain();
}

int kth(Node* o, int k)
{
    if(o == NULL || k > o -> s || k <= 0)   return 0;
    int s = (o -> ch[0] == NULL ? 0 : o -> ch[0] -> s);
    if(k == s + 1)  return o -> v;
    else if(k <= s) return kth(o -> ch[0], k);
    else            return kth(o -> ch[1], k - s - 1);
}

int rank(Node* o, int x)
{
    if(o == NULL) return 0;
    int res = 0;
    int s = (o -> ch[0] == NULL ? 0 : o -> ch[0] -> s);
    if(x <= o -> v)
    {
        res += rank(o -> ch[0], x);
        res += x == o -> v;
    }
    else
    {
        res += s + 1;
        res += rank(o -> ch[1], x);
    }
    return res;
}