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题意:判断第二类斯特林数的奇偶性。
我自己先打了个表,发现结果挺有意思的,是个分形。
然而还是不会做,去膜了膜题解,发现看不懂,只好手推出来了一个和题解一样的公式。
题解:我们都知道
于是在mod2的意义下,当j为偶数,
;当j为奇数,
。
我们可以倒过来。当j为奇数时,
会被加到
;当j为偶数,
会被加到
和
。
我们还可以换一个角度描述问题:有一个点初始时在
。若坐标
的j为奇数,可以走到
,记为①变换;若坐标
的j为偶数,可以走到
和
,记为②变换。问走到点
的方案总数。注意第一步只能是①变换走到
,因为走到任意满足
的
之后对答案都没有贡献,任意
。
接下来我们发现移动的模式一定是这样的:
①,若干②,①,①,若干②,①,①,若干②,①…。
我们发现由
走到
一定走了
步,其中一定有
个①变换,除第一步外,①变换都是两两一组的。很容易得到,这些①变换的组之间共有
个间隔,每个间隔都可以塞若干或零个②变换。我们令
,
,则答案就相当于把
个相同的球分成
组,每组个数可以为0的方案总数。显然答案为
,由插板法得到。这里要用到一个结论,
为奇数当且仅当m&n=n。注意判一判n,m等于0的情况。于是就搞掂了!
代码
#include<cstdio>
int t,n,m,a,b;
int calc(int n,int m){
return (m&n)==n;
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(!n&&!m){
puts("1");
continue;
}
if(!n||!m||n<m){
puts("0");
continue;
}
a=n-m;
b=(m+1)/2;
printf("%d\n",calc(b-1,a+b-1));
}
return 0;
}