PyNN standard model

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PyNN standard model

nonlinear integrate-and-fire model
$\tau{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u=f(u)+R(u)\,I\,$ ，其中发$f(u)$不是线性，电阻R随输入电压变化的
leaky integrate-and-fire model
$\tau{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u=-(u-u_{\rm rest})+R\,I\,;$
代替了$f(u)，R(u)$，变成线性

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神经元模型
1、IF_curr_alpha
对应LIF模型，有固定的阈值和突触后电流为$\alpha$方程形式

2、IF_curr_exp
对应LIF模型，有固定阈值和突触后电流以指数形式衰减（分兴奋性突触和抑制性突触）

3、IF_cond_alpha
对应LIF模型，有固定的阈值和突触后电导为$\alpha$方程形式

4、IF_cond_exp
对应LIF模型，有固定阈值和突触后电导以指数形式衰减
5、HH_cond_exp
6、EIF_cond_alpha_isfa_ista

Exponential Integrate-and-Fire Model

$\tau{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u=-(u-u_{\rm rest})+\Delta_{T}\exp\left({u-% \vartheta_{rh}\over\Delta_{T}}\right)+RI\ $
$\Delta_{T}$是锐利度，$\vartheta_{rh}$是阈值

利用最上面 leaky integrate-and-fire model 代替了$f(u)$，$f(u)=-(u-u_{\rm rest})+\Delta_{T}\exp\left({u-\vartheta_{rh}\over\Delta_{T}}% \right),$

求解 $\tau{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u=-(u-u_{\rm rest})+R\,I\,;$的结果
当假设初始膜电压 $u(t_{0})=u_{\rm rest}+\Delta u$，
当突然没有输入时，上述方程求解为：$u(t)-u_{\rm rest}=\Delta u\exp\left(-{t-t_{0}\over\tau_{m}}\right)\quad{\rm for% ~{}}t>t_{0},.$
从硬件电路上理解，这是一个RC电路，可以看成一个滤波电路，这在很多论文上也是这里理解，把输入的电流通过“滤波”转换成电压，进一步转化成下一个输出电流（脉冲），RC电路有一个特点就是电压和电流是以指数规律变化的，可以理解成电容充电的速率是以指数变化的，注意这个变化是电压上升越接近阈值时，速度越慢，与我们真实神经元不相似，真实神经元越电压靠近阈值，其电压上升越快，所以我们后面会有自适应阈值的LIF
此前我们利用一个电阻R来替代泄露电流，这是最简单的LIF模型，在真正的神经元上这个R不应该是一个定值而应该R（u），所以我们再引入一个指数项使泄露电流尽量接近真实神经元，这里我们也可以不用指数项而引入一个$\alpha function$。

指数项或$\alpha function$的具体推导

nonlinear integrate-and-fire model公式 $\tau{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u=f(u)+R(u)\,I\,.$
把$f(u)$移到左边，其他移到右边，再定义$\tilde{f}(u)=f(u)/\tau$
得到$\tilde{f}(u(t))={1\over C}\,I(t)-{{\text{d}}\over{\text{d}}t}u(t)\,;$
通过注入电流画图的

注意横坐标是随时间变化而产生的电压
然后利用实验数据得出方程$\tilde{f}(u)=-{{u-u_{\rm rest}}\over\tau}+{\Delta_{T}\over\tau}\exp\left({u-% \vartheta_{rh}\over\Delta_{T}}\right)$