算法系列之约瑟夫问题

这是算法里很常规的一个例题。我是这样写的：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct {
    int id;
    int death;
    _Person *next;
} Person;

int main()
{
    int n, m, deathCount = 0;
    cin >> n >> m;
    Person *person = new Person[n];
    Person *p = person;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        person[i].id = i+1;
        person[i].death = 0;
        if (i == n-1)
        {
            person[i].next = &person[0];
        }
        else
        {
            person[i].next = &person[i + 1];
        }
    }
    while(deathCount != n)
    {
        for (int i = 0; i < m-1; i++)
        {
            if (i == m-2)
            {
                p->next->death = 1;
                cout << p->next->id << endl;
                p->next = p->next->next;
                deathCount++;
            }
            p = p->next;
        }
    }
    system("pause");
    return 0;
}

但是别人是这样写的：

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

int main()
{
    int total  = 0;
    cout << "Please input total number of people : ";
    cin >> total;

    int number = 0;
    cout << "Please input selected number : ";
    cin >> number;

    int last = 0; // f(1) = 0
    for(int i = 2; i <= total; ++i)
    {
        last = (last + number) % i;
    }
    cout << "The last one is : " << last + 1 << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

感觉自己很矬有木有？心累不想说话，明天再讲原理。

******************************************************分割线*******************************************************

码代码有点困，休息一会，顺手把这个问题讲解了。。

其实上方这个简化程序还有另一种写法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int GetEnd(int n, int m)
{
    if (n == 1)
    {
        return 0;
    }
return (GetEnd(n-1, m) + m)%n;
}
int main()
{
    int m, n;
    printf("总人数：");
    scanf("%d", &n);
    printf("查询数：");
    scanf("%d", &m);
    printf("最后人位置：%d", GetEnd(n, m)+1);
    system("pause");
    return 0;
}

如程序里所示：总人数为 n，循环数为 m。设当人数为 i 时，最后排除的人在当前序列里排位数为 f(i)。

进行如下推理：

序列一：1,2,...,n-1,n

从第 1 开始查，查到 m 的人出列，其所处位置 k=m%n，然后得到序列二。

序列二：1,2,...,k-1,k+1,...,n-1,n

这时，数不连续，强迫症不舒服斯基，怎么办？改！将1~k-1 提到最后边，顺带加n（因为查询是循环查询，环内后一个数可以是邻接前一个数加一，也可以是求余加一），得到序列三。

序列三：k+1,k+2,...,n-1,n,n+1,n+2,...,n+k-2,n+k-1

不用睁大双眼就可以看见整个序列都带k，阉割它，干掉 k，得到序列四。

序列四：1,2,...,n-2,n-1

看着是不是很舒服，将剔掉数后的序列完美转化为连续数序列。接下来还要继续剔除。这个可悲的序列（毕竟约瑟夫环代表了一个可悲的事件），同样有 k'=m%(n-1)。

序列五：1,2,...,k'-1,k'+1,...,n-2,n-1

...

序列...：1(未知数x)

现在进行反推：

在最后一列数中，未知数x（即最后一个被剔掉的数）不用管它，可有：f(1) = 1;

同样，在序列四中，未知数位于此序列的位置为：f(n-1)，在序列一中，未知数位于此序列的位置为：f(n)

然后有：f(n) = (f(n-1) + k)%n，为什么要对 n 取余呢？因为不取余的话，从 f(1) 可劲加加加，早超过总数 n 了（这是废话）！所以每次要对当前序列数个数取余！

又因 k = m%n，所以有：f(n) = (f(n-1) + m%n)%n = (f(n-1) + m)%n

嘛？递归嘛！然后有函数：

int GetEnd(int n, int m)
{
    if (n == 1)
    {
        return 0; //这个地方为什么写 0 呢？你猜一猜，猜猜有好处！
    }
    return (GetEnd(n-1, m) + m)%n;
}

over...

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