斐波那契数列

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）。

1.题目

1.1.求斐波那契数列的第n项的值
2.2.求斐波那契数列前n项的和

2.例子

2.1.求第n项的值
输入：6
输出：8

2.2.求前n项的和
输入：6
输出：20

3.解析

3.1.求第n项的值
3.1.1找出斐波那契数列的规律，用不断的递归解决，但递归的时间复杂度为O(2^n)。

3.1.2另一种方式是自底向上求解，从1，2推导3。再从2，3推导出4。也就是说，我们想要求第n项的值的话，只需要知道n-1和n-2的值就可以了，而不需要像递归那样所有的值都求出来。

3.2.求前n项的和
3.2.1在递归的基础上，再加一个sum存储前n项的和

3.2.2求前n项的和我们可以推导出一条公式：Sn = A(n+2) - 1。我们可以直接用求第n项的值的方法来求出A(n+2) - 1，就可以得出前n项的和了。
这个公式是怎么得到的呢？很简单。

求和：Sn=a1+a2+a3+……+An

Sn也可以写成Sn=1+a1+a2+a3+……+An-1
因为a2等于1，所以Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1
即：Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1
Sn=a3+a2+a3+……+An-1
Sn=a4+a3+……+An-1……
Sn=An+A(n-1)+An-1
即：Sn=A(n+1)+An-1=A(n+2)-1

4.递归求法，时间复杂度O(2^n)

4.1.求第n项的值

	public int Fibonacci(int n) {

        if(n < 0){
            return 0;
        }
        if(n == 0){
            return 0;
        }
        if(n == 1){
            return 1;
        }
        return Fibonacci(n-1)+ Fibonacci(n-2);

    }

4.2.求前n项和

	public static int FibonacciSum(int n) {
		int sum = 0;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			sum += Fibonacci(i);  //累加前n项
		}
		return sum;
	}

5.非递归求法，时间复杂度O(n)

5.1.求第n项的值

	private int fibonacci(int n){
        int f1 = 1;
        int f2 = 1;
        int prePreFib = f1;
        int preFib = f2;
        int fib = 0;
        int flag = 2;

        if (n == 1 || n == 2){
            return f1;
        }
        if (n >= 3){
            while (flag < n){
                fib = preFib + prePreFib;
                prePreFib = preFib;
                preFib = fib;
                flag++;
            }
        }
        return fib;
    }

5.2.求前n项和

	private int fibonacciSum(int n){
        return fibonacci(n+2) - 1;
    }