简单的Q-learning|小明的一维世界(3)

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简单的Q-learning|小明的一维世界(1)
简单的Q-learning|小明的一维世界(2)

一维的加速度世界

这个世界，小明只能控制自己的加速度，并且只能对加速度进行如下三种操作：增加1、减少1、或者不变。所以行动空间为：

$$\{u_1=-1, u_2=0, u_3=1\}$$

补充：为了不和加速度符号$a$混淆，此处动作标记全改成$u$。

此刻，小明除了位置信息，还具有速度信息，所以状态为三维的$s_t=<x_t,v_t,a_t>$。其中，$x_t$为小明$t$时刻的位置，$v_t$为小明$t$时刻的速度,$a_t$为小明在$t$时刻的加速度。此处，小明的加速度空间也是离散的。不失一般性，此处加速度空间设定为

$$\{a_1=-2, a_2=-1, a_3=0, a_4=1, a_5=2\}$$

根据组合原则，小明的状态总共有$21\times 7 \times 5=735$个。状态空间如下所示部分：

$$S=\{s_1=<x_1, v_1, a_1>, s_2=<x_2, v_1, a_1>,...,s_{147}=<x_{21}, v_7, a_5>\}$$

为了加快收敛速度，此处采用稠密奖励函数：

$$r(s)=-|x|-|v|-|a|$$ ,当小明在中间石时，并且速度为零时，奖励最大。

此时的$Q_{table}$为$735\times 3$的矩阵。

• 训练

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline


def model_update(x, v, a, u):
    a = a+u
    if a < -2: # 保证加速度在区间[-2,2]
        a = -2
    if a > 2:
        a = 2

    v = v+a
    if v < -3:  # 保证速度在区间[-3,3]
        v = -3
    if v> 3:
        v = 3  

    x = x+v
    if x < -10: # 保证位置在区间[-10, 10]
        x = -10
    if x > 10:
        x = 10          
    return x, v, a

xt = np.random.randint(-9, 10) # 随机初始化状态
vt = np.random.randint(-2, 3)
at = np.random.randint(-1, 2)
Q_table = np.zeros((735, 3)) # 初始化Q值为零
for i in range(5000000):
    u = np.random.randint(0,3)-1
    xt1, vt1, at1 = model_update(xt, vt, at, u)
    r = -abs(xt1)-abs(vt1)-abs(at1)
    Q_table[((at+2)*7+(vt+3))*21+xt+10, u+1] = r+0.9*np.max(Q_table[((at1+2)*7+(vt1+3))*21+xt1+10]) # 更新Q值
    xt = xt1
    vt = vt1
    at = at1

• 利用策略
  初始状态为最左，速度最小，也即$s_0=<-10, -3, -2>$

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

is_ipython = 'inline' in matplotlib.get_backend()
if is_ipython:
    from IPython import display

plt.ion()

xt = -10
vt = -3
at = -2
x = np.arange(-10, 11)
y = np.zeros(21)
for i in range(100):
    u = np.argmax(Q_table[((at+2)*7+(vt+3))*21+xt+10])-1
    xt1, vt1, at1= model_update(xt, vt, at, u)
    print(xt, vt, at, u , xt1, vt1, at1)
    xt = xt1
    vt = vt1
    at = at1
    plt.clf()
    plt.plot(x, y, 'b')
    plt.plot(xt,[0], 'or')
    plt.pause(0.1)
    if is_ipython:
        display.clear_output(wait=True)
        display.display(plt.gcf())

steps.$(x_t, v_t, a_t, u_t, x_{t+1}, v_{t+1}, a_{t+1})$
1.$(-10, -3, -2, 1, -10, -3, -1)$
2.$(-10, -3, -1, 1, -10, -3, 0)$
3.$(-10, -3, 0, 1, -10, -2, 1)$
4.$(-10, -2, 1, 1, -10, 0, 2)$
5.$(-10, 0, 2, -1, -9, 1, 1)$
6.$(-9, 1, 1, 0, -7, 2, 1)$
7.$(-7, 2, 1, -1, -5, 2, 0)$
8.$(-5, 2, 0, 0, -3, 2, 0)$
9.$(-3, 2, 0, 0, -1, 2, 0)$
10.$(-1, 2, 0, -1, 0, 1, -1)$
11.$(0, 1, -1, 0, 0, 0, -1)$
12.$(0, 0, -1, 1, 0, 0, 0)$
13.$(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$

动态图——绿色的点代表小明

此处测试的初始状态都是取最坏的值，所以，步长可能会长一点。如果是从最左位置出发时，初始速度为0，初始加速度为0，则最后从最左到中间位置的所需步长：加速度世界<速度世界<位置世界。不过这和速度与加速度设定的区间是有关系的。总体来说，加速度世界比速度世界更加灵活，反应更快；而速度世界中，小明的反应又比位置世界中反应快，而不是傻傻的一步一个脚印。

结语

到此，小明的一维世界系统到此就完结了。从一维的位置世界到一维的速度世界，再到一维的加速度世界。世界从易到难，状态个数从少到多，训练所需步长从少到多。当然，这都是在基于Q-table的Q-learning算法中，如果将Q-table换成表征能力更强的neural network，我们又可以做更复杂更有意思的事情了。