Conservative Q-Learning(CQL)保守Q学习(一)-CQL1(下界Q值估计)

本文将介绍2020年NIPS上的文章，我认为非常有助于RL研究者进行深入阅读，是一篇兼具理论和实际应用的好文章。CQL原文在此，由于CQL原文内容符号比较混乱，并且在公式推导和符号定义上存在一些小错误。笔者进行了仔细阅读和分析，在此做出一些自己语言的总结理解和重述，给予和笔者一样的读者和研究者进行参考和帮助，希望可以和大家一起讨论和学习。本篇文章理论分析性极强，若读者不喜欢理论证明而想直接应用，笔者也给出了如何直接应用CQL的部分。后续笔者会持续更新这部分与CQL的代码部分，由于CQL设计理论部分和应用部分，限于篇幅，笔者无法在一个博客写下所有，必须分开。笔者分成两部分来进行叙述，一部分用于Q估计，一部分用于V估计。笔者的证明中如有推导错误。欢迎各位学者提出批评和建议。
第一部分：Conservative Q-Learning(CQL)保守Q学习(一)-CQL1(下界Q值估计)主要介绍基础概念和CQL第一个下界Q估计
第二部分：Conservative Q-Learning(CQL)保守Q学习(二)-CQL2(下界V值估计),CQL®与CQL(H)。
不感兴趣原理的读者请直接阅读第二部分的2.4部分进行$CQL(R)$和$CQL(H)$的应用，而无需了解理论。
原作者给出的代码链接在此：CQL原作代码。但是笔者认为原作者给出的代码存在一些小问题，笔者在这里暂且保留这个疑虑，在文章中最后笔者给出了疑虑内容，欢迎大家进行讨论。笔者已经将文章出现的疑虑和代码疑虑汇总给CQL作者Aviral Kumar发了邮件。

作为开头，首先笔者先给出一些符号定义和问题的重述，便于后续的阅读，否则直接读极其容易混乱，希望本文可以给予读者指引。

1、预备知识说明

1.1、全文符号重定义

$Agent$:智能体(探索对象）
$state$: $Agent$所处的状态——$t$时刻所处状态简称为$s_t$
$a$: $Agent$所采取的动作——$t$时刻所处采取的动作简称为$a_t$
$r$: $Agent$在$s_t$下所采取动作$a_t$获得多少奖励,简称为$r(s_t,a_t)$

符号内容	符号表示意义
${\pi }_{\beta }(a_t|s_t)$	先验分布函数,数据集中真实的$s_t$下采取动作$a_t$的概率
${\hat{\pi }}_{\beta }(a_t|s_t)$	经验分布函数,数据集体现在采样中$s_t$下采取动作$a_t$的概率
${\hat{\pi }}^k(a_t|s_t)$	第$k$步迭代下,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的概率
$\pi (a_t|s_t)$	迭代稳定后,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的概率
$Q^k(s_t,a_t)$	第$k$步迭代下,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的真实Q值
${\hat{Q}}^k(s_t,a_t)$	第$k$步迭代下,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的预估Q值
$Q^{\pi }(s_t,a_t)$	迭代稳定后,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的真实Q值
${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)$	迭代稳定后,$s_t$状态下,$Agent$采取动作$a_t$对应的预估Q值
$T(s_{t+1}|s_t,a_t)$	$s_t$状态下，$Agent$采取动作$a_t$对应的真实状态转移概率
$\hat{T}(s_{t+1}|s_t,a_t)$	$s_t$状态下，$Agent$采取动作$a_t$对应的经验状态转移概率
$r(s_t,a_t)$	$s_t$状态下，基于$T$得到$Agent$采取动作$a_t$对应的真实奖励
$\hat{r}(s_t,a_t)$	$s_t$状态下，基于$\hat{T}$得到$Agent$采取动作$a_t$对应的经验奖励
$B^{\pi }Q(s_t,a_t)$	$r(s_t,a_t)+E_{s_{t+1}～T,a_{t+1}～\pi (a_{t+1}|s_{t+1})}[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$
${\hat{B}}^{\pi }Q(s_t,a_t)$	$\hat{r}(s_t,a_t)+E_{s_{t+1}～\hat{T},a_{t+1}～\pi (a_{t+1}|s_{t+1})}[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$
$V^{\pi }(s_t)$	$E_{a_t～\pi (a_t|s_t)}[Q^{\pi }(s_t,a_t)]$
${\hat{V}}^k(s_t)$	$E_{a_t～\pi (a_t|s_t)}[{\hat{Q}}^k(s_t,a_t)]$
$d^{{\pi }_{\beta }}(s_t)$	${\pi }_{\beta }(a|s)$的状态边际分布
${\hat{d}}^{{\pi }_{\beta }}(s_t)$	${\hat{\pi }}_{\beta }(a|s)$的状态边际分布

1.2、预备知识和问题描述

1.2.1、离线数据集$D$的构成

针对一个已经通过离线获取好的数据集$D$,其中，$D$为一系列这样的集合构成：$D=\{(s_t,a_t,s_{t+1})\}$ $D$中元素构成分为三部分，假设$D$中元素总数为$|D|$：
一、从边际先验分布 $d^{{\pi }_{\beta }}(s_t)$中采样获取$s_t$
二、从先验分布${\pi }_{\beta }(a_t|s_t)$中采样获取$a_t$
三、从真实状态转移分布$T(s_{t+1}|s_t,a_t)$中采样获取$s_{t+1}$
$$P(\{(s_t,a_t,s_{t+1})\})=T(s_{t+1}|s_t,a_t){\pi }_{\beta }(a_t|s_t)d^{{\pi }_{\beta }}(s_t)$$但是这一先验分布和真实状态转移分布其实人为是并不知道的。我们只能去估计。在实际应用中，我们只能获取到它的以下几个内容：
一、从边际经验分布${\hat{d}}^{{\pi }_{\beta }}(s_t)$中采样获得$s_t$
二、从经验分布${\hat{\pi }}_{\beta }(a_t|s_t)$中采样获取$a_t$
三、从经验状态转移分布$\hat{T}(s_{t+1}|s_t,a_t)$中采样获取$s_{t+1}$
其中，根据简单概率论知识不难得到这三者的定义计算公式如下，它们的定义均是由示性函数$1$定义：
$${\hat{d}}^{{\pi }_{\beta }}(s_t)=\frac{{\sum }_{s\in D}1(s=s_t)}{|D|}$$
$${\hat{\pi }}_{\beta }(a_t|s_t)=\frac{P(s_t,a_t)}{{\hat{d}}^{{\pi }_{\beta }}(s_t)}=\frac{{\sum }_{s,a\in D}1(s=s_t,a=a_t)}{{\sum }_{s\in D}1(s=s_t)}$$
$$\hat{T}(s_{t+1}|s_t,a_t)=\frac{P(s_t,a_t,s_{t+1})}{P(s_t,a_t)}=\frac{{\sum }_{s,a,s^{{}^{\prime }}\in D}1(s=s_t,a=a_t,s^{{}^{\prime }}=s_{t+1})}{{\sum }_{s,a\in D}1(s=s_t,a=a_t)}$$

1.2.2、Bellman 最优算子(QL)与Bellman算子(AC)

Bellman 最优算子为Q-Learning(QL)更新时候采用的Q值更新方式，称之为$B^{\ast }$,定义如下,其中$\gamma$为折扣因子(discounted-factor)：
$$B^{\ast }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～T}[ma{x}_{a}Q(s_t,a)]$$Bellman算子为Actor-Critic(AC)更新时候采用的Q值更新方式，称之为$B^{\pi }$,定义如下,其中$\gamma$为折扣因子(discounted-factor)：
$$B^{\pi }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～T,a_{t+1}～\pi }[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$$
但是事实上，在针对离线数据集时，注意到$s_{t+1}～T$这一项是无法获取全部的$s_{t+1}$来进行实际估计的，因此本文作者提出了经验Bellman算子${\hat{B}}^{\pi }$,定义如下,其中$\gamma$为折扣因子(discounted-factor)：
$${\hat{B}}^{\pi }Q(s_t,a_t)=\hat{r}(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～\hat{T},a_{t+1}～\pi }[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$$
其中，$\hat{r}(s_t,a_t)$的定义为：
$$\hat{r}(s_t,a_t)=\frac{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}r(s_t,a_t)}{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}$$

1.2.3、Bellman 迭代(不感兴趣的读者可以不看)

通过1.2.2的我们给出了$\widehat{B^{\pi }}$和$B^{\pi }$的定义。接下来介绍两者相应的Bellman迭代公式：
$${\hat{Q}}^{k+1}(s_t,a_t)=B^{\pi }{\hat{Q}}^k=r(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～T,a_{t+1}～\pi }[{\hat{Q}}^k(s_{t+1},a_{t+1})]$$
和
$${\hat{Q}}^{k+1}(s_t,a_t)={\hat{B}}^{\pi }{\hat{Q}}^k=\hat{r}(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～\hat{T},a_{t+1}～\pi }[{\hat{Q}}^k(s_{t+1},a_{t+1})]$$
首先笔者先给出该Bellman迭代公式的来源证明，这很重要，是后面CQL的理论基础之一

定理1:下两个Bellman优化式等价
$$(1)Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q{E}_{s,a,s^{\prime }}[(r(s,a)+\gamma E_{a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a){)}^2]$$
$$(2)Q^{k+1}(s,a)\leftarrow r(s,a)+\gamma E_{s^{\prime }～T,a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]$$
证明：
令:
$$L(Q)=E_{s,a,s^{\prime }}[(r(s,a)+\gamma E_{a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a){)}^2]$$
$$L(Q)=\sum _{s,a}\sum _{s^{\prime }}T(s^{\prime }|s,a)P(s,a)[r(s,a)+\gamma \sum _{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^k(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a){]}^2$$
令${\nabla }_{Q}L(Q)=0$会有：
$$P(s,a)\sum _{s^{\prime }}T(s^{\prime }|s,a)[r(s,a)+\gamma \sum _{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^k(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)]=0$$这即为$argmi{n}_Q$:
$$r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}\sum _{a^{\prime }}T(s^{\prime }|s,a)\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^k(s^{\prime },a^{\prime })=Q(s,a)$$简单整理以下发现这就是(2)
$$r(s,a)+\gamma E_{s^{\prime }～T,a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]=Q(s,a)\to Q^{k+1}$$
证毕
定理2:若$|r(s,a)|\le R(\forall (s,a))$,则$Q(s,a)\le \frac{R}{1-\gamma }$
证明：
由Bellman迭代我们已经有了
$$Q(s,a)\leftarrow r(s,a)+\gamma E_{s^{\prime }～T,a^{\prime }～\pi }[Q(s^{\prime },a^{\prime })]$$
$$Q(s_0,a_0)=r(s_0,a_0)+\gamma E_{s_1～T,a_1～\pi }[Q(s_1,a_1)]$$
$$Q(s_1,a_1)=r(s_1,a_1)+\gamma E_{s_2～T,a_2～\pi }[Q(s_2,a_2)]$$
$$Q(s_2,a_2)=r(s_2,a_2)+\gamma E_{s_3～T,a_3～\pi }[Q(s_3,a_3)]$$
整理会发现
$$Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma (r(s_{t+1},a_{t+1}))+{\gamma }^2(r(s_{t+2},a_{t+2}))+\cdot \cdot$$
这是等比数列，由于Agent不可能无限探索下去，有限步会终止。因此一定会有
$$\forall (s,a),Q(s,a)\le \frac{R}{1-\gamma }$$证毕
有了以上两个定理。我们首先介绍作者提出的第一个引理，该引理的目的是去衡量经验Bellman算子和Bellman算子的差异性到底有多大
首先，笔者给予一些自己的注释便于大家后续理解，为什么作者要定义这样一个“经验Bellman算子”呢？这是因为$T$与$\hat{T}$的不同所导致的数据集$D$并不包含全部的$s_{t+1}$转移情况。

引理1:下列不等式满足在高概率条件下成立(成立的可能性大于$1-\delta$)，并且奖励函数具有上界。则$\widehat{B^{\pi }}$与$B^{\pi }$误差是可控的

1.$\hat{r}(s_t,a_t)与r(s_t,a_t)$误差足够的小，并且高概率条件下满足下列不等式**(并不要求处处满足该不等式，而是以高概率满足):其中$C_{r,\delta }$为一个关于$r$和$\delta$的常数**
$$|\hat{r}(s_t,a_t)-r(s_t,a_t)|\le \frac{C_{r,\delta }}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}$$2.$\hat{T}与T$误差足够的小，并且高概率条件下满足下列不等式：其中$C_{T,\delta }$为一个关于$T$和$\delta$的常数
$$|\hat{T}(s_{t+1}|s_t,a_t)-T(s_{t+1}|s_t,a_t)|\le \frac{C_{T,\delta }}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}$$3.$|r(s,a)|\le R(\forall (s,a))$

在满足1，2两高概率成立条件下，同时满足3条件中Reward有上界。则采样误差满足:
$$|\widehat{B^{\pi }}Q(s_t,a_t)-B^{\pi }Q(s_t,a_t)|\le \frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}$$
证明：
令$|\widehat{B^{\pi }}Q(s_t,a_t)-B^{\pi }Q(s_t,a_t)|=B$可以简单的推导得到：

$$B=|r-\hat{r}+\gamma \sum _{s_{t+1}}(\hat{T}-T)E_{a_t～\pi }[Q(s_t,a_t)]|$$
$$B\le |r-\hat{r}|+|\gamma \sum _{s_{t+1}}(\hat{T}-T)E_{a_t～\pi }[Q(s_t,a_t)]|$$
$$B\le \frac{C_{r,\delta }}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}+|\gamma \sum _{s_{t+1}}(\hat{T}-T)E_{a_t～\pi }[\frac{R}{1-\gamma }]|$$
$$B\le \frac{C_{r,\delta }}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}+|\frac{\gamma C_{T,\delta }}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}[\frac{R}{1-\gamma }]|$$
$$|\widehat{B^{\pi }}Q(s_t,a_t)-B^{\pi }Q(s_t,a_t)|\le \frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}$$证毕

1.2.4、Actor-Critic更新方式

在笔者的另一篇文章PPO中已经介绍了策略梯度的更新方式。现在我们还有了Q值的更新方式，因此汇总起来得到如下的Actor-Critic更新方式如下：
$$Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q{E}_{s,a,s^{\prime }～D}[(r(s,a)+\gamma E_{a^{\prime }～{\pi }^k}[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a){)}^2]$$
$${\hat{\pi }}^{k+1}(a|s)\leftarrow argma{x}_{\pi }{E}_{s～D,a～\pi }[Q^{k+1}(s,a)]$$

1.2.5、问题描述

Offline RL算法存在一个明显的问题是，数据集$D$是给定好的。我们注意到这一点，在训练的时候，也即$(s,a,s^{\prime })$这一对是固定好在数据集$D$中的，而数据集$D$是基于用${\pi }_{\beta }(a|s)$采样而得到的。但是在训练的时候我们发现我们训练出来的目标${\pi }^k(a|s)$是去最大化这个$Q$值，换而言之:
$${\hat{\pi }}^k(a^{\prime }|s^{\prime })\leftarrow argma{x}_{\pi }{E}_{s^{\prime }～D,a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]$$其实按照常理来讲，更新完了策略以后，应该利用当前所给出的策略去采样一段$(s,a,s^{\prime })$，然后再利用公式：
$$Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q{E}_{s,a,s^{\prime }～D}[(r(s,a)+\gamma E_{a^{\prime }～{\hat{\pi }}^k}[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a){)}^2]$$进行更新，以此类推。但是显然的在Offline RL中存在这样的问题，用红色标注
上述公式中的$r(s,a)$在Offline中是无法获取的，因为无法与环境进行探索，这会导致一个问题，很有可能是真实的$(r(s,a)|{\pi }_{\beta })$要比现在固定的$(r(s,a)|{\hat{\pi }}^k)$要低，因为此时的${\hat{\pi }}^k$是已经经过优化后的策略了。那么自然的，Offline RL算法存在了最明显也是最薄弱的缺陷之一，即由于不能与环境进行更新互动，导致了真实的Q值要比估计的Q值偏低。这就是最著名的Q值高估问题。

2、CQL算法思想，证明与应用。

这一部分涉及很多理论证明和应用。不感兴趣证明和为什么CQL好的原理的读者，可以直接跳过证明部分只看如何应用CQL即可，无需看本部分证明，而如果想详细了解的读者可以跟随笔者进行证明。
为了便于后续理论部分内容，首先回顾下传统的Q更新方式，已经在第一节介绍过了：
$$Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q{E}_{s,a,s^{\prime }～D}[(r(s,a)+\gamma E_{a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a){)}^2]$$
或者写成
$$Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q{E}_{s,a}[(B^{\pi }{Q}^k(s,a)-Q(s,a){)}^2]$$

根据上述讨论，这样会高估Q值，原文作者提出了一种学习真实Q值函数下界的办法来改善这种状况：
原文作者提出了两种版本的CQL，分别是针对Q值的点态估计下界和关于V值的点态估计下界。在这里我逐一介绍并重证明。

2.1、CQL-version1

注：一个函数$f(x)$的支集定义为 s p t ( f ( x ) ) = { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } spt(f(x))=\{x|f(x)\neq0 \} spt(f(x))={ x∣f(x)=0}
CQL定理1:对于任意的分布$\mu (a|s)$，因子$\alpha >0$。满足：$supp(\mu )\subset supp({\pi }_{\beta })$(即${\pi }_{\beta }=0$$\to$$\mu =0$)时,满足在高概率条件成立中的引理1条件。在因子$\alpha$足够大条件下，下列CQL1估计出的Q值满足：${\hat{Q}}^{\pi }(s,a)\le Q^{\pi }(s,a)\forall (s,a)$。额外的，若${\hat{B}}^{\pi }=B^{\pi }$即无采样误差存在，此时无需满足引理1的任何条件。对于任意$\alpha >0$，均有${\hat{Q}}^{\pi }(s,a)\le Q^{\pi }(s,a)\forall (s,a)$
CQL1更新方式为：
$$Q^{k+1}(s,a)\leftarrow argmi{n}_Q[\frac{1}{2}{E}_{s,a}[({\hat{B}}^{\pi }{Q}^k(s,a)-Q(s,a){)}^2]+\alpha E_{s～D,a～\mu (a|s)}[Q(s,a)]]$$证明：
仿照之前的证明的办法，令$L(Q)=[\frac{1}{2}{E}_{s,a}[(B^{\pi }{Q}^k(s,a)-Q(s,a){)}^2]+\alpha E_{a～\mu (a|s)}[Q(s,a)]]$,并令${\nabla }_{Q}L(Q)=0$求解$Q$即可。
$${\nabla }_{Q}L(Q)=-\sum _{s^{\prime }}\hat{T}(s^{\prime }|s,a)P(s,a)[\hat{r}(s,a)+\gamma \sum _{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^k(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)]+\alpha d^{{\pi }_{\beta }}(s)\mu (a|s)$$令上式=0会得到
$$\frac{\alpha d^{{\pi }_{\beta }}(s)\mu (a|s)}{P(s,a)}=\hat{r}(s,a)+\gamma E_{s^{\prime }～\hat{T}，a^{\prime }～\pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]-Q(s,a)$$这即：
$$\frac{\alpha \mu (a|s)}{{\pi }_{\beta }(a|s)}={\hat{B}}^{\pi }{Q}^k(s,a)-Q(s,a)$$整理一下即可得到Q值更新公式：
$$(CQL1)Q^{k+1}(s,a)={\hat{B}}^{\pi }{Q}^k(s,a)-\frac{\alpha \mu (a|s)}{{\pi }_{\beta }(a|s)}$$而我们之前RL中Q得更新公式为
$$(RL)Q^{k+1}(s,a)=B^{\pi }{Q}^k(s,a)$$下面来对比这两个结果，由引理1可以知道已经有了如下不等式估计
$$|\widehat{B^{\pi }}Q(s_t,a_t)-B^{\pi }Q(s_t,a_t)|\le \frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}$$
$$(CQL1)Q^{k+1}(s_t,a_t)\le B^{\pi }{Q}^k(s_t,a_t)+\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a|s)}{{\pi }_{\beta }(a|s)}$$令$k\to \infty$让策略趋于稳定可以得到
$${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le B^{\pi }{\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)+\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}$$对于真实的Q值，应该满足Bellman方程：
$$B^{\pi }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma E_{s_{t+1}～T,a_{t+1}～\pi }[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$$若令$P^{\pi }Q(s_t,a_t)=E_{s_{t+1}～T,a_{t+1}～\pi }[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$
则会有$B^{\pi }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+P^{\pi }Q(s_t,a_t)$,待到策略稳定时会有:
$$Q^{\pi }(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+P^{\pi }{Q}^{\pi }(s_t,a_t)\to Q^{\pi }(s_t,a_t)=(I-P^{\pi }{)}^{-1}r(s_t,a_t)$$故因此我们会有:
$${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le r(s_t,a_t)+P^{\pi }{\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)+\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}$$
$${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le (I-P^{\pi }{)}^{-1}[r(s_t,a_t)+\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}]$$这也即分别对应了是否存在采样误差（红色和蓝色）的情况
$${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le Q^{\pi }(s_t,a_t)+(I-P^{\pi }{)}^{-1}[\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}]$$
$${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le Q^{\pi }(s_t,a_t)+(I-P^{\pi }{)}^{-1}[-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}]$$1.当存在采样误差时，并且$\alpha$足够大时候可以保证第二项为负的，这时有
${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le Q^{\pi }(s_t,a_t)$恒成立。
有趣的是，这个足够大的$\alpha$是可以计算的。事实上读者们会发现当：
$$\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}-\frac{\alpha \mu (a_t|s_t)}{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}<0$$即
$$\alpha \ge ma{x}_{s_t,a_t}\frac{|C_{r,\delta }|+|\frac{\gamma C_{T,\delta }R}{1-\gamma }|}{\sqrt{{\sum }_{s,a\in D}{1}_{s=s_t,a=a_t}}}ma{x}_{s_t,a_t}\frac{{\pi }_{\beta }(a_t|s_t)}{\mu (a_t|s_t)}$$2.当不存在采样误差时，注意到第二项已经恒负了，而无需调节$\alpha$,这时有
${\hat{Q}}^{\pi }(s_t,a_t)\le Q^{\pi }(s_t,a_t)$恒成立。
证毕
笔者本部分证对应于下图所示原文的Theorem 3.1，笔者与原文证明略有不同，但是本质是一样的。

接下来将在《Conservative Q-Learning(CQL)保守Q学习(二)-CQL2(下界V值估计)》中主要介绍CQL第二个下界V估计即CQL逐步下界估计中介绍下一个下界算法，这两个是CQL的应用基础，谢谢大家。