1.Kernel Trick
由上次课我们可以知道，对偶问题在求解系数q的时候仍然会被z的d所限制，虽然对偶问题表面上不受数据维度的影响，但是实际上仍然会受到限制。
这一次课我们将讲解怎么破除这种限制。
首先我们将z看作是φ对x做了变换后得到的数据。
然后我们假设φ是2nd order polynomial transform,我们将直接对x进行转换然后求内积，过程如下所示：
我们发现z的内积计算能够转换成x的内积计算然后再进行简单的组合运算。这样原本d^2的复杂度被降低为d的复杂度。
这时我们的二次规划的系数q的里面的z的内积以及求解b的z都可以用核函数代替。从而大大降低了计算的复杂度。
运用核函数的SVM计算步骤如下所示：
2.Polynomial Kernel
我们之前只推导了二次多项式的kernel，这里我们将介绍更多多项式的Kernel。
首先如果我们对二次多项式转换的一次项上添加系数
，二次项上添加
那么我们的Kernel函数就能直接转换成某个简单多项式的平方，这样使得Kernel变得更加的简单，并且添加系数不会影响转换空间z的复杂度。我们一般称添加系数后的的核函数为
。
虽说添加系数后我们的转换维度不会发生变化，但是系数会影响边界距离的判定，所以添加不同的系数我们的最终求解结果也会有一定的改变，所以我们在选择Kernel时，不只要选择转换后的复杂度，还得选择系数的大小。
如果我们将二次多项式Kernel的常数项变成变量，并且将次数2变为变量Q，那么我们就得到了高次的多项式kernel.
当Q=1，常数项为0时，我们就相当于对原始空间的x进行SVM求解，这时的假设空间复杂度是最低的。我们称该核为线型核。
我们建议求解的核数应该从1慢慢的往上增加，且遵循奥卡姆剃刀原则。
3.Gaussian Kernel
我们发现将
拆解然后对交叉项进行高斯展开，将变成两个无限维的向量的内积，这样我们就获得了无限维转换函数的kernel了。我们可以在kernel里面加入系数γ对结果进行微调
无限维转换是Gaussian kernel的一个解释，如果只看结果我们发现另一个解释，Gaussian Kernel只是将以SV（support vector）为中心的点gaussian函数做了一个线型组合，组合系数为α。
Gaussian Kernel的好处如下所示：
但是我们发现当γ不同时Gaussian Kernrl的结果会有很大的不同。
当γ越大，越容易overfit，因为伽马代表了Gaussian函数的宽度，γ越大，函数越廋，那么就只能区分中心点了。
所以我们要也要控制γ的大小。
4.Comparison of Kernels
这一节我们将对之前讲的三种kernel进行分析。
线型核：
好处：不容易过拟合，速度快，结果容易理解。
坏处：不是总能够将数据分开。
多项式核：
好处：限制少，总能够将数据分开；能主动控制Q。
坏处：计算比之前的复杂，并且计算结果的范围很大，当内部结果小于1，Q次方后接近0，大于1，Q次方后接近无穷大。并且有三个参数要进行选择，极难调试。
所以建议当Q较小时使用。
Gaussian 核：
好处：无限多维转换，能力比多项式更强，并且核函数计算更加简单，只有一个参数需要调试。
坏处：无限多维的转换，我们无法计算出无限多维的w，所以难以说明其意义。速度比线型核要低。且容易overfit。
难道我们只能用上述三个kernel吗？当然不是，我们还能自己构造出很多核函数出来，只要这些核函数满足一定的条件。
我们知道核函数是求内积，所以其具有相似型。利用其相似性我们发现用φ(x)构造的如下矩阵为半正定矩阵为其必要条件，然后数学家又证明其也是充分条件。
