【SHOI2015】超能粒子炮·改（Lucas定理）

我觉得这题挺难的，题解看来看去都是一步出结论，没什么过程，只有自己搞了。既然过了就尽量写清楚点。
这题的模数是个质数且比较小，需应用卢卡斯定理：

                                        

现在用这个定理对题目所求一步一步地展开：

 

设答案（暂且不加上最外面的取模）：

 

取模，用上Lucas定理：

  

 

把p=2333代入，方便起见，先把最外面的括号和mod p去掉：

 

由于之前设，（暂时忽略取模）所以得到：

 

除开最后一列，前面共有列，所以有：

 

至此，结论就出来了。我们可以做一个预处理，算出。由于里的数可能很大，无法预处理，只需递归地求出即可。至于大组合数，用卢卡斯定理。

最后，不要忘记取模。

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL p=2333;
LL N,K,T,sum[p+1][p+1],c[p+1][p+1];

void pre()
{
	int i,j;
	c[0][0]=1;
	for(i=1;i<p;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;
	}
	
	sum[0][0]=1;
	for(i=1;i<p;i++)
	{
		sum[i][0]=1; sum[0][i]=1;
		for(j=1;j<p;j++)
			sum[i][j]=(sum[i][j-1]+c[i][j])%p;
	}
	
}

LL lucas(LL n,LL m)
{
	if(n<0||m<0) return 0;
	if(n<p&&m<p) return c[n][m];
	return lucas(n/p,m/p)*c[n%p][m%p]%p;
}

LL calc(LL n,LL k)
{
	if(k<0) return 0;
	return (calc(n/p,k/p-1)*sum[n%p][p-1]+lucas(n/p,k/p)*sum[n%p][k%p])%p;
}

int main()
{
	pre(); scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&N,&K);
		printf("%lld\n",calc(N,K));
	}
	return 0;
}