BZOJ4591 [Shoi2015]超能粒子炮·改（洛谷P4345）

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lucas

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来抄推柿子：

$$\begin{align} f(n,k)&=\sum_{i=0}^k{n\choose i}\%p\\ &=\sum_{i=0}^k{n/p\choose i/p}{n\%p\choose i\%p}\\ &=\sum_{i=0}^{k/p-1}{n/p\choose i}\sum_{j=0}^{p-1}{n\%p\choose j}+{n/p\choose k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}{n\%p\choose i}\\ &=f(n/p,k/p-1)f(n\%p,p-1)+{n/p\choose k/p}f(n\%p,k\%p) \end{align}$$
预处理出 $n<p,k<p$的 $f(n,k)$，组合用lucas，递归做就好了。

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 5000
#define F inline
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL p=2333;
LL t,n,k,f[N][N],c[N],iv[N];
F char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    return l==r?EOF:*l++;
}
F LL _read(){
    LL x=0; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) ch=readc();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
    return x;
}
F void writec(LL x){ if (x>9) writec(x/10); putchar(x%10+48); }
F void _write(LL x){ writec(x),puts(""); }
LL lucas(LL n,LL m){
    if (n<m) return 0;
    if (n<p&&m<p) return c[n]*iv[m]%p*iv[n-m]%p;
    return lucas(n/p,m/p)*lucas(n%p,m%p)%p;
}
F void Make(){
    c[0]=c[1]=iv[0]=iv[1]=1;
    for (int i=2;i<=p;i++)
        c[i]=c[i-1]*i%p,iv[i]=p-p/i*iv[p%i]%p;
    for (int i=2;i<=p;i++)
        iv[i]=iv[i-1]*iv[i]%p;
    for (int i=0;i<=p;i++) f[i][0]=f[0][i]=1;
    for (int i=1;i<=p;i++)
        for (int j=1;j<=p;j++)
            f[i][j]=(lucas(i,j)+f[i][j-1])%p;
}
LL C(LL n,LL k){
    if (n<p&&k<p) return f[n][k];
    return (C(n/p,k/p-1)*f[n%p][p-1]%p+lucas(n/p,k/p)*f[n%p][k%p]%p)%p;
}
int main(){
    for (t=_read(),Make();t;t--)
        n=_read(),k=_read(),_write(C(n,k));
    return 0;
}