图论模型-Floyd 算法
1. 引例
某公司在六个城市C C 1 1 ,C 2 2 ,C 3 3 ,C 4 4 ,C 5 5 ,C 6 6 都有分公司，
公司成员经常往来于它们之间，已知从 Ci 到C C j j 的直达航
班票价由下述矩阵的第i i 行，第j j 列元素给出（∞ ∞ 表示无
直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最
廉价路线航费表。
1.1 矩阵解释
第一行：（1，1）=> 第一个城市到第一个城市的费用为 0
（1，2） => 第一个城市到第二个城市的费用为 50
（1.，3） => 第一个城市到第三个城市的费用为 无穷大，即不能直接到达。
以此类推…
2. Floyd算法思想
算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到
j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
3. 通用代码
3.1代码块一：
tulun2.m
a= [ 0,50,inf,40,25,10;
50,0,15,20,inf,25;
inf,15,0,10,20,inf;
40,20,10,0,10,25;
25,inf,20,10,0,55;
10,25,inf,25,55,0];
% 只需修改举证即可
[D, path]=floyd(a)3.2 代码块二：
floyd.m
function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end,
end,
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end,
end,
end,
end
if nargin==3
min1=D(start,terminal);
m(1)=start;
i=1;
path1=[ ];
while path(m(i),terminal)~=terminal
k=i+1;
m(k)=path(m(i),terminal);
i=i+1;
end
m(i+1)=terminal;
path1=m;
end 4. 结果分析：
D =
0 35 45 35 25 10
35 0 15 20 30 25
45 15 0 10 20 35
35 20 10 0 10 25
25 30 20 10 0 35
10 25 35 25 35 0
path =
1 6 5 5 5 6
6 2 3 4 4 6
5 2 3 4 5 4
5 2 3 4 5 6
1 4 3 4 5 1
1 2 4 4 1 64.1 解析：
D: 城市间最短费用（距离等）
PATH : 城市间最短费用（距离等）对应的路线。
例如（2，5）城市二到城市五 。观察path矩阵 ：要经过城市四，即2->4->5。再根据(2,4)对应4, (4,5)对应5，故最佳路线为2->4->5
观察D矩阵：（2，5）对应值30，则最便宜费用30。
5. 图论模型-Floyd 算法与图论模型-Dijkstra不同
我们使用Floyd算法来计算上面引例 城市二到城市五：
5.1主代码快一：
weight= [ 0,50,inf,40,25,10;
50,0,15,20,inf,25;
inf,15,0,10,20,inf;
40,20,10,0,10,25;
25,inf,20,10,0,55;
10,25,inf,25,55,0;];
[dis, path] = dijkstra(weight,2, 5)5.2 函数代码块一样
5.3 结果
dis =
30
path =
2 4 55.4 分析
最低费用30，最佳路线：2->4->5。 此结果和floyd算法结果一致。
所以我们可以很容易发现他们的不同了吧。
Floyd：能一次性显示所有路线问题。
Dijkstra：能显示一条规定的最佳路线，和最佳值，较直观。