【学习笔记】Miller–Rabin素数测试

【算法简介】

$MillerRabin$ 素数测试是一种判断一个数是否是质数的方式。

其单次测试的时间复杂度不会超过 $O(Log^2N)$ ，期望为 $O(LogN)$ ，几乎不需要额外的空间。

$MillerRabin$ 素数测试不是一个确定算法，其单次测试有不超过 $\frac{1}{4}$ 的概率会将一个合数误判为一个素数。但当被测试数在某一个范围内时，我们可以通过选取适当的测试底数让 $MillerRabin$ 素数测试对于这个范围内的每一个数都能够正确地得出结果。

【算法流程】

一个质数具有许多合数不具有的性质，例如：

定理 $1$ ：若 $p$ 是质数，则对于任意 $0<a<p$ ，有 $a^{p-1}\equiv1\ (mod\ \ p)$ 。

引理 $2$ ：若 $p$ 是质数，且 $x^2\equiv1\ (mod\ \ p)$ ，那么 $x\equiv1\ (mod\ \ p)$ 和 $x\equiv p-1\ (mod\ \ p)$ 中的一个成立。

其中定理 $1$ 就是费马小定理，引理 $2$ 的证明的如下:

由于 $x^2\equiv1\ (mod\ \ p)$ ，有 $(x-1)(x+1)\equiv0\ (mod\ \ p)$ 。

即 $(x-1)(x+1)$ 是 $p$ 的倍数，因此引理 $2$ 得证。

那么，一个简单的想法就是我们对于被测试数 $N$ ，分别测试定理 $1$ 和引理 $2$ 是否成立，若发现不成立，则说明被测试数 $N$ 一定是一个合数。

具体而言，我们首先要选取一个底数 $a(a<N)$ ，计算 $a^{N-1}\ mod\ \ N$ ，若 $a^{N-1}\ mod\ \ N\ne1$ ，那么 $N$ 一定是一个合数。

否则，即 $a^{N-1}\equiv1\ (mod\ \ N)$ ，若此时 $N-1$ 为偶数，我们还可以计算 $a^\frac{N-1}{2}\ mod\ \ N$ ，若 $a^\frac{N-1}{2}\ mod\ \ N\ne1$ 且 $a^\frac{N-1}{2}\ mod\ \ N\ne N-1$ ，那么 $N$ 一定是一个合数。

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否则，若 $a^\frac{N-1}{2}\equiv1\ (mod\ \ N)$ ，并且此时 $\frac{N-1}{2}$ 为偶数，我们还可以计算 $a^\frac{N-1}{4}\ mod\ \ N$ ，若 $a^\frac{N-1}{4}\ mod\ \ N\ne1$ 且 $a^\frac{N-1}{4}\ mod\ \ N\ne N-1$ ，那么 $N$ 一定是一个合数。

如此重复，直到 $N$ 被确定是一个合数，或者 $a^x\equiv N-1\ (mod\ \ N)$ ，或者 $x$ 为奇数为止。可以发现，这个过程最多会进行 $O(LogN)$ 次，每一次我们需要计算一个乘幂，因此单次测试的最坏时间复杂度为 $O(Log^2N)$ 。

可以发现，一些合数同样能够通过以某些 $a$ 为底的 $MillerRabin$ 素数测试，一种可行的选择是随机底数 $a$ ，进行 $k$ 次 $MillerRabin$ 素数测试，算法的错误几率将小于 $\frac{1}{4^k}$ 。

前面提到，当被测试数在某一个范围内时，我们可以通过选取适当的测试底数让 $MillerRabin$ 素数测试对于这个范围内的每一个数都能够正确地得出结果。下面是节选自维基百科的选取 $a$ 的方式。

当 $N < 4,759,123,141$ ，选取 $a = 2, 7,61$ 即可确保算法得出正确结果。

当 $N < 3,825,123,056,546,413,051 ≈3*10^{18}$ ，选取 $a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ 即可确保算法得出正确结果。

当 $N < 18,446,744,073,709,551,616 = 2^{64}$ ，选取 $a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29,31,37$ 即可确保算法得出正确结果。

【代码】

模板题【LOJ143】


#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int p[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
typedef long long ll;
typedef long double ld;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
  x = 0; int f = 1;
  char c = getchar();
  for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
  for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
  x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
  if (x < 0) x = -x, putchar('-');
  if (x > 9) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
  write(x);
  puts("");
}
ll times(ll a, ll b, ll P) {
  ll tmp = (ld) a * b / P;
  return ((a * b - tmp * P) % P + P) % P;
}
ll power(ll a, ll b, ll P) {
  if (b == 0) return 1;
  ll tmp = power(a, b / 2, P);
  if (b % 2 == 0) return times(tmp, tmp, P);
  else return times(a, times(tmp, tmp, P), P);
}
bool prime(ll n) {
  for (int i = 0; i <= 8; i++) {
      if (p[i] == n) return true;
      else if (p[i] > n) return false;
      ll tmp = power(p[i], n - 1, n), tnp = n - 1;
      if (tmp != 1) return false;
      while (tmp == 1 && tnp % 2 == 0) {
          tnp /= 2;
          tmp = power(p[i], tnp, n);
          if (tmp != 1 && tmp != n - 1) return false;
      }
  }
  return true;
}
int main() {
  ll n;
  while (scanf("%lld", &n) != EOF) {
      if (n == 1) {
          puts("N");
          continue;
      }
      if (prime(n)) puts("Y");
      else puts("N");
  }
  return 0;
}

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