模板--Miller-Rabin素数测试算法

一.引用原因：

在数据范围在LL类型之中，N_maxLL=1e18,即使在O(sqrt(n))的时间复杂度之内也不能够满足要求，这时候我们可以对其进行 Miller-Rabin 素数测试，可以大概率测出其是否为素数，大部分情况下是正确的；

二.理论基础：

（1）费马小定理：当  为质数，有 ，不过反过来不一定成立，也就是说，如果  ,  互质，且 ，不能推出  是质数;

（2）二次探测：如果  是一个素数，, 则方程  的解为  或 ;

三.算法实现：

思路来源：https://vjudge.net/problem/HihoCoder-1287这里面有详细的介绍；

（1）快速幂运算||快速乘运算：两者结合效率更大；参考我写的模板：https://blog.csdn.net/queque_heiya/article/details/105929064

（2）Miller_Rabin算法实现即可；

​bool Miller_Rabin(LL n){//判断素数 
    LL u=n-1,pre,x;
    int i,j,k=0;
    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11)	return true;
    if(n==1||(!(n%2))||(!(n%3))||(!(n%5))||(!(n%7))||(!(n%11))) return
            false;//初始化判断素数 
    for(;!(u&1);k++,u>>=1);//按照要求转换形式 
    for(i=0;i<5;i++){
        x=rand()%(n-2)+2;//生成随机数 
        x=pow_mod(x,u,n);
        pre=x;
        for(j=0;j<k;j++){
            x=mul_mod(x,x,n);
            if(x==1&&pre!=1&&pre!=(n-1))//二次探测判断 
                return false;
            pre=x;
        }
        if(x!=1) return false;//用费马小定理判断 
    }
    return true;
}

​

四.相关题目：

LibreOJ - 143  https://blog.csdn.net/queque_heiya/article/details/105929206

HihoCoder - 1287 https://blog.csdn.net/queque_heiya/article/details/105929149