【队内训练】ICPC2016大连题解

ICPC2016大连
~~A UVALive 7723 Wrestling Match(带权并查集)~~ 325 / 1045
B UVALive 7724 Regular Number(shift-and算法) 34 / 296（赛后过掉）
C UVALive 7725 Game of Taking Stones(java二分) 65 / 328(赛后过掉)
~~D UVALive 7726 A Simple Math Problem(推公式)~~ 363 / 1339
E UVALive 7727 Aninteresting game(树状数组原理考察) 51 / 196（赛后过掉）
~~F UVALive 7728 Detachment (推公式)~~ * 242 / 878 *
G UVALive 7729 Garden of Eden(点分治) * 82 / 304*(赛后过掉)
~~H UVALive 7730 To begin or not to begin(签到)~~ 487 / 739
~~I UVALive 7731 Convex(签到)~~**483 / 653**
~~J UVALive 7732 Find Small A(签到)~~ 479 / 952
K UVALive 7733 Guess the number 31 / 117
题解：
HIJ：sb题（J题注意2^8=256 =_=||）
A:带权并查集
因为本题目只有两种状态，不是好就是坏。所以总的状态就只有0,1两种。
find函数回溯的时候sum[x]=(sum[x]+sum[t])%2,t是x的初始祖先节点;
在加入并查集时，fx=find_(x),fy=find_(y),当fx!=fy时sum[fy]=(sum[x]-sum[y]+1+2)%2;
当相同时需要判断是否符合sum[x]!=sum[y],不符合说明有阵营不明确的人
另外本题还有一个注意点，有些并查集只有自己一个节点，这种情况下也是
不明确的人，所以需要用cnt数组记录每个并查集中节点数目。
最后一个注意点，有可能是加入并查集没有错误，但是最后可能一个并查集中
有些点在好的阵营中，另外在坏的阵营中，需要将这种情况排除掉
https://paste.ubuntu.com/p/rBtqr2JWD7/
G:点分治算法
问你有多少对（u，v），使得在此路径上的种类数有k个
点分治就是基于树上的节点进行分治。
点分治的本质其实是将一棵树拆分成许多棵子树处理，并不断进行。
这其中有两个部分是不变的，一个是计算重心，一个是对子树进行路径的计算或者记录状态
剩下的就是在总的dfs下，计算通过当前根节点的路径上的信息（一般计数题目是总体计算然后剪去合并的冲突项，有些问满足条件的最长路径是遍历过程中不断寻找最大值）
本题目一个注意点就是在计算当前子树的满足条件的路径数时，为了降低复杂度
用下面这种方式，其实s0=(s0-1)&sta[i],这个操作可以实现对sta[i]的1的遍历
比如与10010或等于11111的最小的数时1101，然后是1111，之后是11101，最后是11111
实际模拟一遍就知道怎么回事了
https://paste.ubuntu.com/p/2dxdYph2zX/

for(int s0=sta[i];s0;s0=(s0-1)&sta[i])  res+=cou[((1<<k)-1)^s0];

D:推公式
题目给出两个等式：
$X+Y=A$
$LCM(X,Y)=B$
我们可以看出A,B的GCD也就是X,Y的GCD
我们首先让两个等式同时除以 $GCD(A,B)$
便得到：
$X1+Y1=A/GCD(A,B)$
$X1*Y1=B/GCD(A,B)$
$X1*GCD(A,B)=X,Y1*GCD(A,B)=Y$
解方程求出X1,Y1,乘以GCD(A,B)即可
https://paste.ubuntu.com/p/3CJP22CBt8/
C.高精度
威佐夫博弈只要满足

\frac{(\sqrt{5} + 1)}{2} * (M a x - M i n) = M i n

$\frac{\left( \sqrt{5}+1 \right)}{2}*\left( Max-Min \right) =Min$
所以只要大数+java二分高精度求出

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ 就可以了。
https://paste.ubuntu.com/p/twsbyFXPJT/
E.树状数组
首先我们要深刻理解树状数组的内部原理
我们先来看一下每个数的二进制码和它们对应的lowbit
树状数组原理

1.lowbit(i)表示i能整除的最大的2的幂次
2.i-lowbit(i)表示跳到前一个整幂次的二进制区间
3.i+lowbit(i)表示跳到下一个包含当前区间的区间
如果知道这三个性质，
我们先来看第一问，求某两段之间的lowbit之和，
我们首先求出

s u m (1, i - 1)

$sum(1,i-1)$ 再求出

s u m (1, j)

$sum(1,j)$ ，前缀和相减就可以了
现在问题变为如何求出

s u m (1 - n)

$sum(1-n)$ ,我们来看性质1，我们发现我们只要知道
有多少恰好只能整除1的
有多少恰好只能整除2的
有多少恰好只能整除4的….
我们可以发现恰好整除1个数为

[n / 1 - n / 2]

$[n/1-n/2]$ 向下取整
因为能够整除1的只包含恰好整除1的和能够整除2的
以此类推，我们就可以o(1)的计算出所有2的幂次的贡献，之后就扫一遍算贡献就可以了
单次复杂度是log的
再来看第二问，问某个数被加过几次，想想树状数组的add函数，这个问题就不难想了，每个数字只会在包含他的区间被重新添加，我们只要观察性质三，就很容易算出第二问了！于是整个题就解决了。
https://paste.ubuntu.com/p/dTQsG8mfNh/
F.推公式
本题题意就是让一个数拆成多个数之和，而且这些数的乘积最大，我们知道当我们拆的数越多，乘积就越大，然题意要求每个数不重复，所以我们要让这些数尽量靠近，分下面两种情况

1. X = Σ_{i = 2}^{n} i 例 如 X = 9 = 2 + 3 + 4. 此 时 肯 定 拆 分 为 2 - i, 为 最 大 饱 和 状 态

$1. X=\varSigma _{i=2}^{n}i 例如X=9=2+3+4.此时肯定拆分为2-i,为最大饱和状态$

2. X = Σ_{i = 2}^{n} i + k (k <= n) 对 于 多 出 来 的 K ， 我 们 能 想 到 肯 定 是 从 n 到 2 每 个 不 断 + 1 ， 这 样 才 能 保 证 这 些 数 足 够 靠 近 。

$2.X=\varSigma _{i=2}^{n}i+k\left( k<=n \right) 对于多出来的K，我们能想到肯定是从n到2每个不断+1，这样才能保证这些数足够靠近。$
根据以上两种情况我们列出等式

X = \frac{(2 + n) * (n - 1)}{2} n 在 这 里 代 表 长 度 解 出 n 之 后 算 出 k ， 答 案 就 是 (n + 1) * (n + 0) * . . . * (n - k + 2) * (n - k) * (n - k - 1) * . . . * 1 答 案 用 两 个 阶 层 相 除 表 示 就 可 以 了 。

$X=\frac{\left( 2+n \right) *\left( n-1 \right)}{2} n在这里代表长度解出n之后算出k，答案就是(n+1)*(n+0)*...*(n-k+2)*(n-k)*(n-k-1)*...*1 答案用两个阶层相除表示就可以了。$
https://paste.ubuntu.com/p/PbSbmttPMK/
B.Shift-And算法
l如果你学过这个算法的话，那么就是模板题。
Shift-And算法解决的就是每个位置可以放很多种字符时的字符串匹配问题
ans数组表示的是有哪些长度即是目标串后缀又是模式串前缀
求模式串在目标串中出现次数的时候
例如11001就代表当前串有长度为1，4，5的串既是目标串后缀又是模式串前缀
所以如果我们想统计模式串出现次数，就是ans[len]=1时答案++；
所以这道题就可以用Shift-And算法结束了！
https://paste.ubuntu.com/p/5S6RNvSvYG/

【队内训练】ICPC2016大连题解

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