UVA1349（带权二分图最大匹配 --> KM算法模板）

UVA1349

题意：给定一些有向带权边，求出把这些边构造成一个个环，总权值最小

解法：

对于带权的二分图的匹配问题可以用通过KM算法求解。

要求最大权匹配就是初始化g[i][j]为0，直接跑就可以；

要求最小权匹配就是初始化g[i][j]为-INF，加边的时候边权为负，最后输出答案的相反数。

因为要求每个点恰好属于一个圈，意味着每个点都有一个唯一的后继。反过来，只要每个点都有唯一的后继，每个点一定属于某个圈。

唯一的是我们想到了二分图的概念，我们对于每个点，建立由u到v的二分图，之后问题就转换成了二分图上的最小权完美匹配问题

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
  3 #define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) 
  4 #define INF 0x3f3f3f3f 
  5 #define MAXN 100+10
  6 using namespace std;
  7 
  8 struct KM {
  9     int n;
 10     int g[MAXN][MAXN];
 11     int Lx[MAXN], Ly[MAXN];
 12     int slack[MAXN];//记录距X匹配到Y点还需要多少权值
 13     int match[MAXN];//记录每个X点匹配到的Y集中的点
 14     bool S[MAXN], T[MAXN];
 15 
 16     void init(int n) {
 17         this->n = n;
 18         for (int i = 0; i < n; i++) 
 19             for (int j = 0; j < n; j++) 
 20                 g[i][j] = -INF;
 21         //注意这里如果是求最大权值匹配和就赋值为0
 22         //最小权值匹配和就是—INF
 23     }
 24 
 25     void add_Edge(int u, int v, int val) {
 26         g[u][v] = max(g[u][v], val);
 27     }
 28 
 29     bool dfs(int i) {
 30         S[i] = true;
 31         for (int j = 0; j < n; j++) {
 32             if (T[j]) continue;
 33             int tmp = Lx[i] + Ly[j] - g[i][j];
 34             if (!tmp) {
 35                 T[j] = true;
 36                 if (match[j] == -1 || dfs(match[j])) {
 37                     match[j] = i;
 38                     return true;
 39                 }
 40             }
 41             else slack[j] = min(slack[j], tmp);
 42         }
 43         return false;
 44     }
 45 
 46     void update() {
 47         int a = INF;
 48         for (int i = 0; i < n; i++)
 49             if (!T[i]) a = min(a, slack[i]);
 50         for (int i = 0; i < n; i++) {
 51             if (S[i]) Lx[i] -= a;
 52             if (T[i]) Ly[i] += a;
 53         }
 54     }
 55 
 56     void km() {
 57         for (int i = 0; i < n; i++) {
 58             match[i] = -1;
 59             Lx[i] = -INF; Ly[i] = 0;
 60             for (int j = 0; j < n; j++)
 61                 Lx[i] = max(Lx[i], g[i][j]);
 62         }
 63         for (int i = 0; i < n; i++) {
 64             for (int j = 0; j < n; j++) slack[j] = INF;
 65             while (1) {
 66                 for (int j = 0; j < n; j++) S[j] = T[j] = false;
 67                 if (dfs(i)) break;
 68                 else update();
 69             }
 70         }
 71     }
 72 }Men;
 73 
 74 int main() {
 75     int n;
 76     while (scanf("%d", &n) == 1 && n) {
 77         Men.init(n);
 78         REP(u, 0, n) {
 79             int v;
 80             while (scanf("%d", &v) && v) {
 81                 int w; scanf("%d", &w);
 82                 v--;
 83                 Men.add_Edge(u, v, -w);
 84             }
 85         }
 86 
 87         Men.km();
 88         int ans = 0, flag = 1;
 89         REP(i, 0, n) {
 90             if (Men.g[Men.match[i]][i] == -INF) {
 91                 //有未匹配到，就是不成功，因为题目要求的是完美匹配
 92                 flag = 0;
 93                 break;
 94             }
 95             ans += Men.g[Men.match[i]][i];//累加权值
 96         }
 97         if (!flag) printf("N\n");
 98         else printf("%d\n", -ans);//最后是输出的是负数
 99     }
100     return 0;
101 }

UVA1349（带权二分图最大匹配 --> KM算法模板）

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