【NOIP2013_D1_T3】货车运输 / 生成树、LCA

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题

网上都有，这里说一下简述。
给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，$Q$ 次询问。
每次询问包含两个点 $s$ 、$t$，
对于每次询问你要输出所有 $s$ 到 $t$ 的路径中权最大的路径的权。
在本题中，一条路径的权定义为路径上所有边的边权最小值。
$n \le 10000，m \le 50000$。

解

由 $Krusal$ 的正确性，我们不难知道权最大的路径一定在最大生成树上。所以我们把原图的最大生成树构出来，问题就变成了多次询问该树上路径的权，也就是路径中边权的最小值，我们不难想到一个经典问题——两点间的树上唯一路径长度。我们发现最小值和长度一样同样满足区间加法，所以一样可以做。维护十分简单。
为了节省代码量选择了比较简洁的倍增，树链剖分也是可以的。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define Maxn 10005
#define R register
#define LG 19
struct edge
{
    int l,r,ww;
}e[Maxn*5];
inline bool cmp(R edge xx,R edge yy){return xx.ww>yy.ww;}

int fa[Maxn],dep[Maxn];
int find(R int x){return fa[x]?fa[x]=find(fa[x]):x;}

int first[Maxn],next[Maxn<<1],to[Maxn<<1],cnt,w[Maxn<<1];
void link(R int x,R int y,R int z) {next[++cnt]=first[x];first[x]=cnt;to[cnt]=y;w[cnt]=z;}

int f[Maxn][32],g[Maxn][32];
bool vis[Maxn];
void dfs(R int now)
{
    vis[now]=1;
    for (R int i=first[now];i;i=next[i])
    {
        if(!vis[to[i]])
        {
            f[to[i]][0]=now,g[to[i]][0]=w[i],dep[to[i]]=dep[now]+1;
            dfs(to[i]);
        }
    }
}
int n,m;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for (R int i=1;i<=m;++i) scanf("%d %d %d",&e[i].l,&e[i].r,&e[i].ww);
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for (R int i=1;i<=m;++i)
    {
        R int u=find(e[i].l),v=find(e[i].r);
        if(u^v) 
        {
            fa[u]=v;
            link(e[i].l,e[i].r,e[i].ww);
            link(e[i].r,e[i].l,e[i].ww);
        }
    }
    for (R int i=1;i<=n;++i) if(!vis[i]) dfs(i);
    for (R int i=1;i<=LG;++i)
     for (R int j=1;j<=n;++j)
      f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1],g[j][i]=min(g[j][i-1],g[f[j][i-1]][i-1]);
    R int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        R int s,t,ans=2147483000;
        scanf("%d %d",&s,&t);
        if(find(s)^find(t)) puts("-1");
        else
        {
            if(dep[s] > dep[t]) swap(s,t);
            R int tmp=dep[t]-dep[s];
            for (R int j=0;j<LG;++j)
              if(tmp&(1<<j)) ans=min(ans,g[t][j]),t=f[t][j];
            for (R int j=LG;j>=0;--j)
              if(f[s][j]^f[t][j]) ans=min(ans,min(g[s][j],g[t][j])),s=f[s][j],t=f[t][j];
            if(s^t)ans=min(ans,min(g[s][0],g[t][0]));
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}