NOIP2013 货车运输【最大生成树+倍增LCA】

NOIP2013 货车运输【最大生成树+倍增LCA】

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题意：n个点，m条无向边，每条边都有边权w，q次询问，问你从x–>y的（路径上的最小边权中）最大是多少？
0<=n,m,q<=1e5
思路：两个点之间可能有多种路径可以到达，那就构成了一个环，环之间的点可以两两互相到达，那么我们是否可以在保证联通的情况下贪心的把某些最小的边删去，保证了答案尽可能大，那么这不就是最大生成树吗？把一个无向不连通图变成了森林之后，我们要怎么解决路径上的问题呢？变成树之后，x->y路径必然是x->LCA(x,y)->y;所以我们还要利用倍增求LCA,在这个过程中记录W[i][j]数组代表节点i到2^j路径上的最小值；递推方程：w[i][j]=min(w[i][j-1],w[f[i][j-1]][j-1]);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
int n,m,q,f[maxn],F[maxn][30],vis[maxn],dep[maxn],W[maxn][30];
struct node
{
    
    
    int v,w;
};
struct node1
{
    
    
    int u,v,w;
} a[maxn];
vector<node>G[maxn];
void bfs(int st)
{
    
    
    queue<int>q;
    q.push(st);
    vis[st]=1,dep[st]=1;
    while(!q.empty())
    {
    
    
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
        {
    
    
            int v=G[u][i].v;
            if(vis[v])
                continue;
            F[v][0]=u,W[v][0]=G[u][i].w,dep[v]=dep[u]+1,vis[v]=1;
            for(int j=1; j<=20; j++)
                F[v][j]=F[F[v][j-1]][j-1],W[v][j]=min(W[v][j-1],W[F[v][j-1]][j-1]);
            q.push(v);
        }
    }
}
int Find(int x)
{
    
    
    if(x==f[x])
        return x;
    return f[x]=Find(f[x]);
}
int LCA(int x,int y)
{
    
    
    if(Find(x)!=Find(y))
        return -1;
    int ans=2e9+5;
    if(dep[x]<dep[y])
        swap(x,y);
    for(int i=20; i>=0; i--)
        if(dep[F[x][i]]>=dep[y])
            ans=min(ans,W[x][i]),x=F[x][i];
    if(x==y)
        return ans;
    for(int i=20; i>=0; i--)
    {
    
    
        if(F[x][i]!=F[y][i])
            ans=min(ans,min(W[y][i],W[x][i])),x=F[x][i],y=F[y][i];
    }
    return min(ans,min(W[x][0],W[y][0]));

}
void add(int u,int v,int w)
{
    
    
    // cout<<u<<"->"<<v<<endl;
    G[u].push_back({
    
    v,w});
    G[v].push_back({
    
    u,w});
}
bool cmp(node1 a,node1 b)
{
    
    
    return a.w>b.w;
}

int main()
{
    
    
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
    
    
        f[i]=i;
        for(int j=0; j<=20; j++)
            W[i][j]=2e9+5;
    }

    for(int i=1; i<=m; i++)
        scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
    
    
        int u=a[i].u,v=a[i].v,w=a[i].w;
        int fu=Find(u),fv=Find(v);
        if(fu==fv)
            continue;
        else
        {
    
    
            f[fu]=fv;
            add(u,v,w);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
    
    
        if(!vis[i])
            bfs(i);
    }
    cin>>q;
    while(q--)
    {
    
    
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",LCA(x,y));
    }
}