AtCoder 2170 Pushing Balls

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题面

题意

平面上有n+1个洞，洞两两之间有一个球，第i个球到左边的洞的距离为((i*2-2)*x+d),第i个球到右边的洞的距离为(i*2-1)*x+d，每次随机选择一个不在洞中的球，再随机选择一个方向推动，球将会进入这个方向上距离它最近的没有球的洞（洞里如果有球将会跳过这个洞继续滚动）。
现在求所有球进洞后，球滚动的期望总距离。

做法

首先球到的洞的距离是一个等差数列：d,d+x,d+2x,d+3x,d+4x……….d+(2*n-1)x.
然后可以发现经过一次操作后上述序列变短而且仍然为等差数列，例如:
n=4,d=1,x=1时，
初始的序列为1,2,3,4,5,6,7,8
第一次操作后一共有八种可能：
1.第一个球向左滚：3 4 5 6 7 8
2.第一个球向右滚：6 4 5 6 7 8
3.第二个球向左滚：1 9 5 6 7 8
4.第二个球向右滚：1 2 12 6 7 8
5.第三个球向左滚：1 2 3 15 7 8
6.第三个球向右滚：1 2 3 4 18 8
7.第四个球向左滚：1 2 3 4 5 21
8.第四个球向右滚：1 2 3 4 5 6
上述8个序列每一位取平均值后的序列为${15 \over 8}, \frac{27}{8}, \frac{39}{8}, \frac{51}{8}, \frac{63}{8}, \frac{75}{8}$
因此只要计算出每次序列中的d和x变化的规律，每次操作前答案加上该序列的平均值即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define db double
using namespace std;

int n;
db x,d,ans;

int main()
{
    int i,j;
    cin>>n>>d>>x;
    for(;n;n--)
    {
        ans+=(d*2.0+(db)(2*n-1)*x)/2.0;
        d+=d/(db)n+5.0*x/(db)(2*n);
        x+=2.0*x/(db)n;
    }
    printf("%.10f",ans);
}