Atcoder AGC007C : Pushing Balls

传送门

题解：

把每个球的操作一次后的期望具体写出来，发现还是一个等差数列，猜个结论：把之后的局面用这个等差数列算是等价的（其实应该也不难理解）。

假设现在等差数列为$(d,x)$，我们可以发现：
操作一次后：
$d'=\frac{((2n-2)d+(d+x)+(3d+6x))}{2n}$ (其实就是1距离左边的期望距离)

$sum'=sum-\frac{(d+(d+x)+((2n-2)x+d)+((2n-1)x+d))}{2n}$ （只有两种操作会引起和的改变）

根据$sum'$和$d'$就可以轻松的算出$x'$了，递归到长度为1即可，时间复杂度$O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double DB;

DB d,x,n;
int main() {
    cin>>n>>d>>x; DB ans=0;
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        DB sum=(d*2*n+n*(2*n-1)*x);
        ans+=sum/2/n;
        DB d2=(d*(2*n-2)+d+2*x+3*d+3*x)/2/n;
        sum=sum-(4*d+4*n*x-2*x)/2/n;
        n-=1;
        DB x2=(sum-2*n*d2)/n/(2*n-1);
        d=d2; x=x2;
    } printf("%.15f\n",(double)ans);
}