codeforces 794D Labelling Cities

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题意

给出一个\(n\)个点\(m\)条边的图，要求给图中的每一个点赋一个值\(x[i]\)，使得任意两个点之间有边当且仅当\(|x[i]-x[j]|<=1\)。问是否存在满足条件的方案，如果有，输出每个点的值。\((2\leq n \leq 3*10^5,1 \leq m \leq 3*10^5)\)

题解

这个题目需要一些脑洞。总共需要想到两个结论：
１.对于一些没有边直接相连的点，如果另一个点连接了超过２个这些点，那么肯定就是无解的。
２.如果对于两个点，他们相邻的点（包括自己）所组成集合相同，如果题目有解，那么一定会有一种合法方案中，这两个点的值相同。
想到这两个点差不多就可以做出来了。第一个比较好证明，因为如果一个点连接了两个以上互不相连的点，那么这些点当中一定会有两个点的\(x\)值差值小于等于１，并且之间没有边相连。这个画画图理解一下就很容易的出来了。重点在于第二个，由于这两个点的相连的点都是相同的，那么这两个点和他们连接的那些点的差值都是相同的，所以我们将这两个点的值赋为相同的也是合法的。于是我们可以借助第二个结论，用哈希将所有值相同的点都缩在一起，这样剩下来的就是值不相同的点了。再根据第一个点，我们可以知道这个缩完点的图一定是一条链了，然后我们从链顶开始赋值就行了。

Ｃｏｄｅ

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('\n');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
const int M=3e5+500;
int n,m,Base=13131;
std::vector<int>G[M],F[M];
ll H[M];
int idx[M],fa[M],res[M];
typedef std::vector<int>::iterator vit;
/*==================Define Area================*/
ll Hash(int x) {
    sort(G[x].begin(),G[x].end());
    ll res=0;
    for(vit it=G[x].begin();it!=G[x].end();++it) {
        res=res*Base+*it;
    }
    return res;
}

bool cmp(int a,int b) {return H[a]<H[b];}

int main() {
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) G[i].push_back(i);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
        read(u);read(v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) H[i]=Hash(i),idx[i]=i;;
    sort(idx+1,idx+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int x=idx[i],y=idx[i-1];
        fa[x]=(H[x]!=H[y])?x:fa[y];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(vit it=G[i].begin();it!=G[i].end();++it) {
            int j=*it;
            if(fa[i]!=fa[j]) F[fa[i]].push_back(fa[j]);
        }
    }
    int st;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(fa[i]!=i) continue ;
        sort(F[i].begin(),F[i].end());
        F[i].erase(unique(F[i].begin(),F[i].end()),F[i].end());
        if(F[i].size()>2) return puts("NO"),0;
        if(F[i].size()<=1) st=i;
    }
    queue<int>Q;
    Q.push(st);
    res[st]=1;
    while(!Q.empty()) {
        int o=Q.front();Q.pop();
        for(vit it=F[o].begin();it!=F[o].end();++it) {
            if(!res[*it]) Q.push(*it),res[*it]=res[o]+1;
        }
    }
    puts("YES");
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        printf("%d ",res[fa[i]]);
    }
    puts("");
    return 0;
}