主要学习的是背包九讲中的内容：
0-1背包问题
0-1背包问题，是讲N件物品放入背包（体积为V）,每种物品一件，只能选择放或者不放，体积和价值分别为c[i]和v[i]。（cost花费，value价值）
计算公式为F(i,v) = max(F(i-1,v),F(i-1,v-c[i]) + v[i])
一、初步考虑定义F[N][V]，F[i][j]为在体积为j的情况下，考虑i件物品时的最大价值。伪代码：
FOR[0][0...V]<-0
for i:1->N
for j:c[i]->V
F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-c[i]]+v[i]);
时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(N*V)
二、进一步考虑节省空间，定义F[V]，将N的循环结果覆盖，为防止每次循环前面的计算被叠加到后面，采用从后往前的计算方式。伪代码：
FOR[0...V]<-0
for i:1->N
for j:V->c[i]
F[j] = max(F[j],F[j-c[i]]+v[i]);
时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(V)
三、继续考虑节省时间，定义F[V]，同上。伪代码：
FOR[0...V]<-0
for i:1->N
for j:V->max(c[i],V-Σ(v:i->N)c[v])
F[j] = max(F[j],F[j-c[i]]+v[i]);
时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(V)
四、特殊要求
如果要求正好装满背包，则将上面中的初始化赋值时，只有FOR[0][0]或FOR[0]赋值为0，其他全部赋值为-∞。这样，只有每次正好装满的时，才会在下一次选择中脱颖而出，当然，如果没有正好装满的机会则会一直讲-∞向下传递，甚至最终答案也是他，那就说明无法得到答案。
五、总结
可以清楚看出，上面有两次时间优化，一个是体积从c[i]开始，一个是从V-Σ(v:i->N)c[v]开始。小于两个中的任意一个其实都不用再考虑了。
c[i]比较好考虑，因为小于c[i]说明他本身就没有装下一个i好物体的能力，所以需要考虑了。
第二个是因为如果体积小于V-Σ(v:i->N)c[v]说明剩余的体积已经大于剩余的物体的全部体积了，再向前计算已经不可能有更高的价值了，所以也不需要计算了。
0-1背包算法时背包算法的基础，可以说，每一个考虑的问题都具有普适性，为接下来更深入的问题做铺垫。
总结单件物品计算函数，后面会用到，节约时间。至于为什么算则第二中算法而不是第三种算法，完全背包的第三种算法有解释。
def ZeroOnePack(F,C,V)
for v:V->C
F[v] = max(F[v],F[v-C] + V);
完全背包问题
完全背包问题没有了物品的数量限制，可以任意的放入0~n件，数量不限。
一、直接从基础方程式转化
设定k为一种物品放入的数量，为变量。则方程为：
F(i,v) = max(F(i-1,v),F(i-1,v-kc[i]) + kv[i]|0<=k*c[i]<=v[i])
时间复杂度为O(NVΣ(v[i]/c[i]))，过高
二、转化成0-1背包问题
利用二进制思想，将第i种物品转化成本为c[i]*2^k，价值为v[i]*2^k的若干件物品。任意一个数字都可以用二进制组合表示，这样物品就可以转成0-1问题的使用方式，放或者不放。
这样问题的时间复杂度就为O(NVΣ(log(v[i]/c[i])))，是一个很大的改进，但仍然太高；
三、O(VN)算法
直接放代码：
FOR[0...V]<-0
for i:1->N
for j:c[i]->V
F[j] = max(F[j],F[j-c[i]]+v[i]);
时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(V)
与0-1背包的第二种算法相比，只有第二层循环的顺序颠倒了。可以思考一下，当时为什么选择从后往前。就是为了消除前面的计算会累加到后面，所以从前往后就不会了。
为何不采用0-1算法的第三种算法扩展，因为这一次使用数量不再限制，所以不会出现剩余体积大于剩余所有物品的体积的情况。就是说他只适用与0-1背包，不适合扩展后的背包问题。
该方法其实可以调换循环层次的顺序。
四、总结
总共考虑了两个比较有意思的问题，一个是二进制思想，一个是第三种算法。
二进制思想是一个很好的解决大量无用遍历的方式，快排上的时间缩减也和他有同源的思想。如果物品的体积较大，完全可以采用二进制思想整合一下第三种算法，也可以再缩减一次时间复杂度。
总结单件物品计算函数。
def CompletePack(F,C,V)
for v:C->CV
F[v] = max(F[v],F[v-C] + V);
多重背包问题