#2608. 「NOIP2013」转圈游戏（也是快速幂系列的）

【题目描述】题目链接在此

nnn 个小伙伴（编号从 000 到 n−1n-1n−1）围坐一圈玩游戏。按照顺时针方向给 nnn 个位置编号，从 000 到 n−1n-1n−1。最初，第 000 号小伙伴在第 000 号位置，第 111 号小伙伴在第 1 号位置，……，依此类推。

游戏规则如下：每一轮第 000 号位置上的小伙伴顺时针走到第 mmm 号位置，第 111 号位置小伙伴走到第 m+1m+1m+1 号位置，……，依此类推，第 n−m 号位置上的小伙伴走到第 000 号位置，第 n−m+1n-m+1n−m+1 号位置上的小伙伴走到第 111 号位置，……，第 n−1n-1n−1 号位置上的小伙伴顺时针走到第 m−1m-1m−1 号位置。

现在，一共进行了 10k10^k10​k​​ 轮，请问 xxx 号小伙伴最后走到了第几号位置。

【输入格式】

输入共 111 行，包含 444 个整数 nnn、mmm、kkk、xxx，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出格式】

输出共 111 行，包含 111 个整数，表示 10k10^k10​k​​ 轮后 xxx 号小伙伴所在的位置编号。

【样例输入 1】

10 3 4 5

【样例输出 1】

5

【数据范围与提示】

对于 30% 的数据，0<k<70 < k < 70<k<7；

对于 80% 的数据，0<k<1070 < k < 10^70<k<10​7​​；

对于 100% 的数据，1<n<1061 < n < 10^61<n<10​6​​，0<m<n0 < m < n0<m<n，1≤x≤n1 \leq x \leq n1≤x≤n，0<k<1090 < k < 10^90<k<10​9​​。

思路： 这道题也是快速幂，只是不太明显，但是仔细看一下题目，还是看得出来这是快速幂的，因为是一直循环，而且出现了

10^k这样敏感的东西，所以我们可以想到用快速幂，但是这道题不单单是快速幂，还要推公式，就是不断的看这道题的答案，是怎么来的，才能把公式推出来，不然这道题是做不出来的，公式的推理思路我写在了代码那里，仅供参考，还是希望动笔算一下。

【代码实现】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k,p;
ll power(ll x,ll y)
{
	ll ans=1;
	while(y>0)
	{
		if(y&1) ans=ans*x%n;
		y>>=1; x=x*x%n;	
	}
	return ans;
}
//因为提到进行了 10^k，所以用到了mod运算 
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&p);
	ll answer=(p+m*power(10,k))%n; 
	/*power(10,k)总共n-1个位置的情况，那么乘以起始位置就是当前的位置
	然后加上要求的自己的位置，就是经过10^k之后的位置，再除以轮回就是所在的位置编号
	%n是为了防止重复和溢出 
	*/ 	 
	printf("%lld\n",answer);
	return 0;
}

这道题因为要推公式，而且是noip提高组的题，所以一定要细细琢磨，大概难度是3.5吧，其实多算算也会发现没那么难，但如果算上思考的时间，可能就有点难度了，而且很多人可能会用for循环来找，那么一定会超时。