我的新博客：http://ryuzhihao.cc/
已经快一个月没有写新文章了。其实这段时间我写了很多小程序，但是一直在忙保研的事情就没有时间写文章。一次无尽的9月（at涼宮ハルヒ）。现在终于一切事情都结束了，重新开始填坑。
最近出于一些其他的用途，整理并实现了Alpha shapes，所以拿出来分享一下。首先，这篇博客以及我的程序，是根据Francois Belair写的文章而完成的，原文链接：Alpha Shape Applet。
这里贴一下在下面提供的一个测试程序的下载链接：
http://download.csdn.net/download/mahabharata_/10001135
一、什么是Alpha Shapes？
Alpha Shapes是从离散的空间点集(point sets)中抽象出其直观形状的一种方法，简言之，从一堆无序的点中获取大致的轮廓。
首先，还是先贴出我的实现结果。
（1）我的某个使用Alpha Shapes形状检测的程序:
（二）专门为Alpha Shapes 设计的一个测试程序
下图程序的下载链接在文章开头已经给出。
二、Alpha Shapes算法流程
（一）单阈值Alpha Shapes算法的轮廓提取
这是最简单的一种Alpha Shapes的实现。在一个有限离散点集S中，有n个点构成，这n个点可以组成n*(n-1)条线段，我们可以通过如下的方法判断哪条线段是在边界线上的线段：在点集S内，过任意两点P1、P2绘制半径为alpha的圆（显然，在给定半径时，过确定的两点的圆应该有两个），如果这个圆内没有其他点，则认为点P1、P2是边界点，其连线P1P2即为边界线段。
如果粗暴的去求解，其时间复杂度为O(n^3)。但由于对称性，这种方法的复杂度可降低至O(n^2*log2n)。当然中间还可以通过一些其他的约束条件去减少计算次数，具体的计算流程如下：
第1步：遍历每条边P1-P2。
第2步：如果边P1-P2的长度大于直径2*Alpha，则跳过（因为无法找到过这两个点的圆）。
第3步：根据简单的几何知识，求出两个圆的圆心C1、C2。
(3.1) 边P1-P2的方向向量v1 =p1-p2，且设v1为(x,y)，同时边p1p2的中点坐标mid=0.5*(p1+p2)。
(3.2) 我们可以根据向量垂直时点积为0的性质，求出边P1-P2的垂直向量v2（设v2坐标为(a,b)，则ax+by=0）。
(3.3) 设边P1-P2的长度为len，求出圆心到边P1-P2的距离dist = sqrt( alpha^2 - 0.25*len^2)；
(3.4) 圆心C1 =mid+dist*v2；圆心C2 =mid-dist*v2;
第4步：两个圆中有一个圆内部不包含点集S中的其他任何点，则边P1-P2即为边界。
实现结果如下图：分别是轮廓的检测结果、Alpha检测圆：
求解alpha shapes轮廓的代码如下：
struct Edge
{
vec2 a;
vec2 b;
}
vector<vec2> m_points; // 点集S
vector<Edge> m_edges; // 边
void PointSet::AlphaShapes()
{
m_edges.clear();
for(int i=0; i<m_points.size(); i++)
{
// k从i+1开始，减少重复计算
for(int k=i+1; k<m_points.size(); k++)
{
// 跳过距离大于直径的情况
if(m_points[i].distanceToPoint(m_points[k])>2*m_radius)
continue;
// 两个圆心
QVector2D c1,c2;
// 线段中点
QVector2D center = 0.5*(m_points[i]+m_points[k]);
// 方向向量 d = (x,y)
QVector2D dir = m_points[i] - m_points[k];
// 垂直向量 n = (a,b) a*dir.x+b*dir.y = 0; a = -(b*dir.y/dir.x)
QVector2D normal;
normal.setY(5); // 因为未知数有两个，随便给y附一个值5。
if(dir.x() != 0)
normal.setX(-(normal.y()*dir.y())/dir.x());
else // 如果方向平行于y轴
{
normal.setX(1);
normal.setY(0);
}
normal.normalize(); // 法向量单位化
float len = sqrt(m_radius*m_radius-(0.25*dir.length()*dir.length()));
c1 = center + len*normal;
c2 = center - len*normal;
// b1、b2记录是否在圆C1、C2中找到其他点。
bool b1 = false, b2 = false;
for(int m=0; m<m_points.size(); m++)
{
if( m == i || m == k)
continue;
if(b1!=true && m_points[m].distanceToPoint(c1) < m_radius)
b1 = true;
if(b2!=true && m_points[m].distanceToPoint(c2) < m_radius)
b2 = true;
// 如果都有内部点，不必再继续检查了
if(b1 == true && b2 == true)
break;
}
Edge edge;
if(b1!=true || b2!=true)
{
edge.a = m_points[i];
edge.b = m_points[k];
m_edges.push_back(edge);
}
}
}
}
（二）改进的单阈值Alpha Shapes轮廓提取：
为了减少计算量。我们可以先采取先建立三角网，再从三角网的外边界开始判断，其流程如下：
第1步：根据点集S建立Delaunay三角网。
第2步：若三角形中某条边的长度大于2*alpha，则删除该三角形（不符合条件）。
第3步：对三角形的每条边进行判断：若过某条边的两点且半径为alpha的圆包含其他点，则删除该三角形。如下图所示，当前要判断的三角形为△ABC，要判断的边为边A-B，因为半径为alpha且过AB两点的圆包含点C，则从三角网中删除△ABC。
第4步：在第2-3步提到的不符合Alpha shapes要求的三角形后所得到的三角网上求出三角网的边缘。该边缘即为点集S的边缘线。