**zlh. 的第 13 篇博客，别忘了点赞哦！**
支持快速合并的堆？配对堆帮你实现！
# 特色
配对堆是一种简单方便的可并堆，支持快速合并两个堆。
配对堆是一棵**多叉树**，树根总是堆中最小/大的值。
配对堆的特点在于效率高于其他大部分可并堆，而且代码简单，适合在考场上使用。
具体有多快？看看下面就知道了：
（顺便引出基本操作啦）
1. 合并两个堆（merge）：$O(1)$
2. 压入一个值（push/insert）：$O(1)$
3. 弹出堆顶（pop）：$O(\log n)$
4. 取最值（top）：$O(1)$
5. 删除任意节点（delete）：$O(\log n)$
6. 修改任意节点的值（change）：$O(1) / O(\log n)$
# 实现细节
配对堆一般使用 **左儿子右兄弟** 的表示方法。
什么？具体来说就是
```cpp
struct Node {
int val;
int son, bro;
} tree[MAXN];
```
其中 son 指向这个结点的第一个儿子， bro 指向这个结点的下一个兄弟，这样对于每个结点，它的儿子们都组成了一个链表。
下图中绿色的边代表 son 指针，蓝色边代表 bro 指针，红色的边是树中真正的边，但它们不是真实存在的。
# 功能详解
## 可并堆的核心：合并（merge）
配对堆可以在 $O(1)$ 的时间内美妙地合并两个堆：直接连接两个堆的堆顶，将优先级较小的堆置为优先级较大的堆的儿子，插入儿子链表中。
## 堆的基本操作 I：压入（push）
使用要压入的值创建一个新堆，将这个堆与原堆合并即可
## 堆的基本操作 II：弹出（pop）
若要弹出一个堆的堆顶，先将这个堆顶删除，然后将剩下的所有子树合并起来。
如果直接一个一个合并的话，有可能会出现一个结点拥有很多儿子的情况，使下次 pop 操作往 $O(n)$ 退化。
一种解决方法是先将相邻的结点**配对合并**，使子树的个数减少到 $\dfrac{n}{2}$ 个后，再直接合并。
这样就可以保证均摊的时间复杂度为 $O(\log n)$，不至于退化。
## 堆的基本操作 III：取最值（top）
记录一个 root ，返回 tree[root].val 即可。
# 代码一览
delete 操作和 change 操作需要维护父指针，较为麻烦，鉴于篇幅~~（才不告诉你是作者太弱）~~，这里没有给出这两个操作的代码。
## 链表建树：
```cpp
struct Node {
int val;
int bro, son;
} tree[MAXN];
```
## 新建结点（newnode）：
```cpp
int newnode(int k) {
node[++ node_cnt].val = k;
return node_cnt;
}
```
## 合并（merge）：
```cpp
int merge(int x, int y) {
if(!x || !y)
return x | y;
else {
if(tree[x].val > tree[y].val)
swap(x, y);
tree[y].bro = tree[x].son;
tree[x].son = y;
return x;
}
}
```
## 压入（push）：
```cpp
void push(int x) {
root = merge(root, newnode(x));
}
```
## 弹出（pop）：
弹出需要一个辅助函数 `merge_ch(x)` ，表示将 x 的所有兄弟合并，返回新得到的根。
使用递归的方法合并，令 y 为 x 的下一个兄弟， z 是 y 的下一个兄弟，先将 x 和 y 合并得到 a ，再将 z 的兄弟合并得到 b ，最后合并 a 和 b 即可。
如果认为递归可能爆栈，可以改成非递归版
```cpp
int merge_ch(int x) {
if(!x)
return 0;
int y = tree[x].bro;
int z = tree[y].bro;
node[x].bro = tree[y].bro = 0;
return merge(merge(x, y), merge_ch(z));
}
```
注意 merge_ch 中要将 x 和 y 的 bro 清零，虽然不清零不会影响答案正确性，但为了保险与严谨起见，最好还是清零一下。
这样， pop 函数只需将根的儿子们都合并即可
```cpp
void pop() {
root = merge_ch(tree[root].son);
}
```
# 代码
这是一份简洁的代码，可以在 [P3378 【模板】堆](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3378) 上AC。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Pairing_Heap {
static const int MAXN = 1000000 + 10;
struct Node {
int val;
int bro, son;
} tree[MAXN];
int node_cnt, root;
int newnode(int k) {
tree[++ node_cnt].val = k;
return node_cnt;
}
int merge(int x, int y) {
if(!x || !y)
return x | y;
else {
if(tree[x].val > tree[y].val)
swap(x, y);
tree[y].bro = tree[x].son;
tree[x].son = y;
return x;
}
}
int merge_ch(int x) {
if(!x)
return 0;
int y = tree[x].bro;
int z = tree[y].bro;
tree[x].bro = tree[y].bro = 0;
return merge(merge(x, y), merge_ch(z));
}
void push(int x) {
root = merge(root, newnode(x));
}
int top() {
return tree[root].val;
}
void pop() {
root = merge_ch(tree[root].son);
}
} H;
int n;
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
int mode, x;
scanf("%d", &mode);
if(mode == 1) {
scanf("%d", &x);
H.push(x);
}
else if(mode == 2) {
printf("%d\n", H.top());
}
else {
H.pop();
}
}
return 0;
}
```