贪心算法--一般背包问题

题目

有一个背包，最多放M kg的物体（物体大小不限）；
有n个物体，每个物体的重量为Wi，每个物体完全放入背包后可获得收益Pi。问：如何放置能获得最大的收益？

注：背包问题分为两种，若每个物体不可分割，则称为0/1背包问题，这种问题无法用贪心法求的最优解，只能求的近似解。而若每个物体可以切分，则称为一般背包问题，可以使用贪心法求的最优解。下面讨论的就是一般背包问题。

结果集

一般背包问题中，结果集可以用一个n元组表示：
1. x的下标i表示物体的序号；
2. xi表示第i个物体加入背包的部分（0<=xi<=1）

title

目标函数

使用贪心法解决最优化问题的第一步，就是要从题目中抽象出目标函数，这是一个数学建模的过程。
本题中，目标函数就是当前背包收益的最大值：
title

约束条件

所选的物体放入背包后，不能超过背包载重M：
title

最优量度准则1：重量小的物体优先

将所有物体按照重量递增的顺序排序，每次选重量最小的放入背包。

这个最优量度标准显然无法得到整体最优解，因为重量小的物体并不一定价值高。最优解与价值、重量这两个维度产生关系，而这个最优量度标准仅考虑了一个维度，因此这样选择并不能导致整体最优解。

最优量度准则2：价值高的物体优先

这种选法也无法达到整体最优解，理由同上。

最优量度准则3：性价比高的物体优先

首先计算所有物体的性价比（重量和收益的比值），每次优先将性价比高的物体放入背包。

代码实现

/**
 * 定义一个物体类
 */
class Body{
   int id;// 物体的序号
   int w;// 物体的重量
   int p;// 物体的价值
}

/**
 * 一般背包问题的代码实现
 * @param w：每个物体重量的数组
 * @param p：每个物体收益的数组
 * @param m：背包载重
 * @return 结果集（放入哪几个物体、每个物体放入多少部分）
 */
List<Body> commonPackage( int[] w, int[] p, int m ){
    // 构造物体对象列表（将入参存储在List<Body>中）
    List<Body> bodys = new ArrayList<>();
    for ( int i=0; i<w.length; i++ ) {
        bodys.add(new Body(w[i],p[i]));
    }
    // 对性价比排序（从高到低排序）
    Collections.sort(bodys, new Comaprator<Body>(){
        int compare(Body b1,Body b2){
            return b2.p/b2.w-b1.p/b1.w;
        }
    });
    // 将物体按照性价比从高到低依次加入背包
    int rest = m;// 剩余重量
    int i=0;
    List<Body> results = new ArrayList<>();// 存放结果集
    for(; i<bodys.size(); i++){
        if ( rest<bodys.get(i).w )
            break;
        Body curBody = bodys.get(i);
        results.add(curBody);
        rest -= curBody.w;
    }
    // 计算最后一个物体能放入的部分
    Body lastBody = bodys.get(i);
    results.add(new Body(lastBody.id,rest,(lastBody.p*rest/lastBody.w));
}

总结

要用贪心法解决一个最优化问题，首先要抽象出目标函数、约束条件，再判断结果能否用一个n元组表示。最后选择最优量度标准。
最优量度标准的选择有多种方式，并不是所有的最优量度标准都能导致整体最优解。最优量度标准的选择往往是先根据经验，然后再通过数学归纳法的方式证明它能导致整体最优解。
若无法选出一个最优量度标准，则可以使用动态规划法解决最优化问题。