数据结构04——二叉树

 

一、开头语

说到二叉树，我们是否应该考虑一下，为什么要使用树？那是因为树结构是集有序数组和链表的优点于一身，在树中查找数据的速度和在有序数组中查找的速度是一样快的，并且插入数据和删除数据的速度和链表的也是一样的，说的直白一点，就是两个字：高效。在本篇文章，我们主要讲的是一种特殊的树——二叉搜索树（Binary-Search-Tree），简称：BST。

 

二、设计树结构的具体实现和实现添加功能代码

这里我们首先说下这样一种树结构的一些特性：和链表一样是动态数据结构、二叉树具有唯一根节点、二叉树每个节点最多两个孩子、二叉树每个节点最多一个父亲、二叉树具有天然的递归结构（后面我们的代码都是以递归的形式去实现）、每个节点的左子树也是二叉树（右子树类同）、还有二叉树不一定是“满的”等等。

 

package com.zfy.bst;

/*
 *对于二分搜索树，也支持泛型，因为其不支持所有的类型，对这样的类型有一个限制，这个限制就是这个类型必须要有可比较性 ,所以我们实现了Comparable类
 * */
public class BST<E extends Comparable<E>> {

	private class Node {
		public E e;
		public Node left, right;// 指向子树的链接

		public Node(E e) {
			this.e = e;
			left = null;
			right = null;
		}
	}

	private Node root; //根节点
	private int size; //存储的总数

	public BST() {
		root = null;
		size = 0;
	}

	public int getSize() {
		return size;
	}

	public boolean isEmpty() {
		return size == 0;
	}

	//向二分搜索树中添加新的元素e
	public void add(E e) {
		root = add(root, e);
	}

	//向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法,这样的递归设计是为了让代码更简洁
	//返回插入新节点后二分搜索树的根
	private Node add(Node node, E e) {

		if (node == null) {
			size++;
			return new Node(e);
		}

		if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			node.left = add(node.left, e);
		} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {

		} else {
			node.right = add(node.right, e);
		}

		return node;
	}

	//看二分搜索树中是否包含元素e
	public boolean contains(E e) {
		return conrains(root, e);
	}

	//看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
	private boolean conrains(Node node, E e) {

		if (node == null)
			return false;
		if (e.compareTo(node.e) == 0) {
			return true;
		} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			return conrains(node.left, e);
		} else {
			return conrains(node.right, e);
		}
	}

}

三、二叉树的前、中、后遍历以及层序遍历

 

说到遍历操作，其实就是把所有的节点访问一遍，但访问的原因和业务相关，例如：后续遍历就是为二分搜索树释放内存。在线性结构下，遍历是极其容易的，但在树结构下也没那么难。其实在递归所实现的这几种遍历方式中，从代码上看好像并不复杂，但如果你能理解了递归的运行规则，那么你会体会到其中的趣味的。在本段代码中还将实现一下非递归形式的前序遍历的代码。

	// 二分搜索树的前序遍历
	public void preOrder() {
		preOrder(root);
	}

	// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
	private void preOrder(Node node) {
		if (node == null)
			return;

		System.out.println(node.e);
		preOrder(node.left);
		preOrder(node.right);
	}

    //二分搜索树的非递归前序遍历
    public void preOrderNR(){
    	
    	Stack<Node> stack = new Stack<>();
    	stack.push(root);
    	while (!stack.isEmpty()) {
			Node cur = stack.pop();
			System.out.println(cur.e);
			
			if (cur.right != null) {
				stack.push(cur.right);
			}
			if (cur.left != null) {
				stack.push(cur.left);
			}
		}
    }
    
    //二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }

    //中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    //二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    //后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }
    
    //二分搜索树的层序遍历
    public void levelOrder(){
    	
    	if (root == null) {
			return;
		}
    	
    	Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    	q.add(root);
    	while (!q.isEmpty()) {
			Node cur = q.remove();
			System.out.println(cur.e);
			if (cur.left != null) {
				q.add(cur.left);
			}
			if (cur.right != null) {
				q.add(cur.right);
			}
			
		}
    }
    
    
       public String toString() {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		generateBSTString(root, 0, res);
		return res.toString();
	}

        //生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
	private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res) {
		
		if (node == null) {
			res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
		}
		
		res.append(generateDepthString(depth) + node.hashCode() + "\n");
		generateBSTString(node.left, depth+1, res);
		generateBSTString(node.right, depth+1, res);
	}

	private String generateDepthString(int depth) {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		for (int i = 0; i < depth; i++) 
			res.append("--");
		return res.toString();
	}

四、二叉搜索树的删除功能实现

前面我们说到二叉树具有：在树中查找数据的速度和在有序数组中查找的速度是一样快的，并且插入数据和删除数据的速度和链表的是一样的特性，而且我在前面文章中已经从代码中体现出这样的特点，所以这里就不再赘述了。在这里我们来说说二叉树删除的功能。我们会从删除书中最大值、最小值和删除任意元素（删除只有左或右孩子的节点以及删除左右都有孩子的节点）。

 

删除右都有孩子的节点如图，在这里我们是以图2上的方法去实现的，当然我们还可以以图三上的方法去实现

图1：

 图2：

图3：

    //寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){

    	if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
    	
    	return minimum(root).e;
    }
    
    //返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
	private Node minimum(Node node) {
		
		if (node.left == null) {
			return node;
		}
		return minimum(node.left);
	}

	public String toString() {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		generateBSTString(root, 0, res);
		return res.toString();
	}
	
    //寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }

    //返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if( node.right == null )
            return node;

        return maximum(node.right);
    }

    //从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
    public E removeMin(){
    	
    	E ret = minimum();
    	root = removeMin(root);
    	return ret;
    }
    
    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node) {
		
	if (node.left == null) {
		Node rightNode = node.right;//如果当前这个最小节点还有有孩子，那么先将它保存
		node.right = null;
		size --;
		return rightNode;
	}
	node.left = removeMin(node.left);
	return node;
    }

	//从二分搜索树中删除最大值所在节点
    public E removeMax(){
        E ret = maximum();
        root = removeMax(root);
        return ret;
    }

    //删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    //返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){

        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }
        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }
    
    // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public void remove(E e){
    	root = remove(root, e);
    }
    
    //删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    //返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private BST<E>.Node remove(Node node, E e) {
		
	if (node == null) {
			return null;
		}
		if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			node.left = remove(node.left, e);
			return node;
		}else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
			node.right = remove(node.right, e);
			return node;
		}else {
			
			//待删除节点左子树为空的情况
			if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }
            
            // 待删除节点左右子树均不为空的情况,俗称：hibbard deletion
            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;
            node.left = node.right = null;
            return successor;
		}
	}

最后我们来贴一下完整的代码：

package com.zfy.bst;

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

/*
 *对于二分搜索树，也支持泛型，因为其不支持所有的类型，对这样的类型有一个限制，这个限制就是这个类型必须要有可比较性 ,所以我们实现了Comparable类
 * */
public class BST<E extends Comparable<E>> {

	private class Node {
		public E e;
		public Node left, right;// 指向子树的链接

		public Node(E e) {
			this.e = e;
			left = null;
			right = null;
		}
	}

	private Node root; // 根节点
	private int size; // 存储的总数

	public BST() {
		root = null;
		size = 0;
	}

	public int getSize() {
		return size;
	}

	public boolean isEmpty() {
		return size == 0;
	}

	// 向二分搜索树中添加新的元素e
	public void add(E e) {
		root = add(root, e);
	}

	// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法,这样的递归设计是为了让代码更简洁
	// 返回插入新节点后二分搜索树的根
	private Node add(Node node, E e) {

		if (node == null) {
			size++;
			return new Node(e);
		}

		if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			node.left = add(node.left, e);
		} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {

		} else {
			node.right = add(node.right, e);
		}

		return node;
	}

	// 看二分搜索树中是否包含元素e
	public boolean contains(E e) {
		return conrains(root, e);
	}

	// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
	private boolean conrains(Node node, E e) {

		if (node == null)
			return false;
		if (e.compareTo(node.e) == 0) {
			return true;
		} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			return conrains(node.left, e);
		} else {
			return conrains(node.right, e);
		}
	}

	// 二分搜索树的前序遍历
	public void preOrder() {
		preOrder(root);
	}

	// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
	private void preOrder(Node node) {
		if (node == null)
			return;

		System.out.println(node.e);
		preOrder(node.left);
		preOrder(node.right);
	}

	//二分搜索树的非递归前序遍历
    public void preOrderNR(){
    	
    	Stack<Node> stack = new Stack<>();
    	stack.push(root);
    	while (!stack.isEmpty()) {
			Node cur = stack.pop();
			System.out.println(cur.e);
			
			if (cur.right != null) {
				stack.push(cur.right);
			}
			if (cur.left != null) {
				stack.push(cur.left);
			}
		}
    }
    
	//二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }

    //中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    //二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    //后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }
    
    //二分搜索树的层序遍历
    public void levelOrder(){
    	
    	if (root == null) {
			return;
		}
    	
    	Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    	q.add(root);
    	while (!q.isEmpty()) {
			Node cur = q.remove();
			System.out.println(cur.e);
			if (cur.left != null) {
				q.add(cur.left);
			}
			if (cur.right != null) {
				q.add(cur.right);
			}
			
		}
    }

    // 寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){

    	if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
    	
    	return minimum(root).e;
    }
    
    //返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
	private Node minimum(Node node) {
		
		if (node.left == null) {
			return node;
		}
		return minimum(node.left);
	}

	public String toString() {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		generateBSTString(root, 0, res);
		return res.toString();
	}
	
	//寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }

    //返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if( node.right == null )
            return node;

        return maximum(node.right);
    }

    //从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
    public E removeMin(){
    	
    	E ret = minimum();
    	root = removeMin(root);
    	return ret;
    }
    
    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
	private Node removeMin(Node node) {
		
		if (node.left == null) {
			Node rightNode = node.right;//如果当前这个最小节点还有有孩子，那么先将它保存
			node.right = null;
			size --;
			return rightNode;
		}
		node.left = removeMin(node.left);
		return node;
	}

	//从二分搜索树中删除最大值所在节点
    public E removeMax(){
        E ret = maximum();
        root = removeMax(root);
        return ret;
    }

    //删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    //返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){

        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }
        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }
    
    // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public void remove(E e){
    	root = remove(root, e);
    }
    
    //删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    //返回删除节点后新的二分搜索树的根
	private BST<E>.Node remove(Node node, E e) {
		
		if (node == null) {
			return null;
		}
		if (e.compareTo(node.e) < 0) {
			node.left = remove(node.left, e);
			return node;
		}else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
			node.right = remove(node.right, e);
			return node;
		}else {
			
			//待删除节点左子树为空的情况
			if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }

            //待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }
            
            //待删除节点左右子树均不为空的情况,俗称：hibbard deletion
            //找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            //用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;
            node.left = node.right = null;
            return successor;
		}
	}

	//生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
	private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res) {
		
		if (node == null) {
			res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
		}
		
		res.append(generateDepthString(depth) + node.hashCode() + "\n");
		generateBSTString(node.left, depth+1, res);
		generateBSTString(node.right, depth+1, res);
	}

	private String generateDepthString(int depth) {
		StringBuilder res = new StringBuilder();
		for (int i = 0; i < depth; i++) 
			res.append("--");
		return res.toString();
	}
}

最后语：不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。

参考：bobobo老师的玩转数据结构和Java数据结构和算法.（第二版）

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