Description
求解
Solution
根据容斥原理,原式可以分成 块来处理,每一块的式子都为
考虑化简该式子
因为 时对答案才用贡献,于是我们可以将其替换为 ( 当且仅当 时值为 否则为 ),故原式化为
将 函数展开得到
变换求和顺序,先枚举 可得
易知 中 的倍数有 个。
故原式化为
很显然,式子可以数论分块求解(注意:过程中默认 )。
时间复杂度
- 线性筛求 :
- 数论分块:
代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=50000;
int mu[N+5],p[N+5];
bool flg[N+5];
void init() {
int tot=0;
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i) {
if(!flg[i]) {
p[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=N;++j) {
flg[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) {
mu[i*p[j]]=0;
break;
}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
}
int solve(int n,int m) {
int res=0;
for(int i=1,j;i<=std::min(n,m);i=j+1) {
j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
res+=(mu[j]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return res;
}
int main() {
int T,a,b,c,d,k;
init();
for(scanf("%d",&T);T;--T) {
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("%d\n",solve(b/k,d/k)-solve(b/k,(c-1)/k)-solve((a-1)/k,d/k)+solve((a-1)/k,(c-1)/k));
}
return 0;
}