动态规划之四：最长公共子序列

问题：已知两个序列的长度分别为m、n,求取这两个序列的最长公共子序列LCS（longest common sequence）的长度？

示例描述：

输入：

第一行输入两个整数分别为n、m，它们分别代表序列source以及dest 的长度

第二行输入序列source的值

第三行输入序列dest的值

输出:

输出最长子序列的长度。

实例：

输入：

8 9

扫描二维码关注公众号，回复： 2830865 查看本文章

1 3 4 5 6 7 7 8

3 5 7 4 8 6 7 8 2

输出：

基本概念：

子序列：将一个给定的序列的零个或多个元素丢掉之后得到的结果。

子串：一个给定序列的任意连续元素组成的子序列。

下面使用图例进行概念说明：

假设S（S1,S2,...,Sk）是序列X(x1,x2,...,xn)与Y(y1,y2,...,ym)的最长公共子序列，我们可以得到：

如果序列X=Y，则序列S=X=Y;有Sk-1是Xn-1与Ym-1的最长公共子序列

如果序列X≠Y,则Sk是Xn与Ym-1的最长公共子序列，或者是Xn-1与Ym的最长公共子序列

通过上面分析我们可以得到如何划分子问题，即分三种情况：

其一序列X=Y，Sk=X=Y;

其二序列X≠Y情况下，Sk可能是Xn与Ym-1的最长公共子序列

其三序列X≠Y情况下，Sk可能是Xn-1与Ym的最长公共子序列

使用形式化递推公式进行描述为：

如果我们直接对上述地推公式进行编程将达到指数级别，因此利用动态规划的思想，使用一个表格来暂存其中间结果，可得其状态转移函数为

其中，当i=0或者j=0时，为该问题的边界。

程序结果为：

#include<iostream> 
using namespace std;
#define size 100  //表格的大小

int main() {
	int a[size][size];//对表格进行初始化
	int source[size],dest[size];//定义序列元素类型
	int n, m;
	cin >> n >> m; //n代表行，m代表列
	
	for (int i = 0; i < n; i++) 
		cin >> source[i];  //代表匹配串
	for (int i = 0; i < m; i++) 
		cin >> dest[i]; //代表主串
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++)
			a[i][j] = 0; //对表格进行初始化
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if (source[i-1]==dest[j-1]) {
				a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + 1;
			}
			else {
				a[i][j] = a[i - 1][j] > a[i][j - 1] ? a[i - 1][j] : a[i][j - 1];
			}
	}
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++)
			cout << a[i][j] << "\t";
		cout << endl;
	}
	cout <<"最长子序列的长度为：" <<a[n][m]<< endl;

	system("pause");
}

参考：https://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607

动态规划之四：最长公共子序列

猜你喜欢