#单调队列，动态规划，斜率优化#hdu 3507 Print Article

题目

一篇文章在打印k个需花费

m是常数，问最少花费多少就可以打完一篇文章

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分析

对于$x1<x$ and $x2<x$
可得$dp[x]=dp[x1]+(sum[x]-sum[x1-1])^2+m$
$dp[x]=dp[x2]+(sum[x]-sum[x2-1])^2+m$
但是$O(n^2)$会超时
设$x1<x2$ and $dp(x1)<dp(x2)$
变形可得
$\dfrac{dp[x2]+sum[x2-1]^2-dp[x1]-sum[x1-1]^2}{2(sum[x2-1]-sum[x1-1])}<sum[x]$

所以如果ANSWER(BC)<=sum[x],证明B点劣于C点，可以去掉B点。否则ANSWER(BC)>sum[x],如果ANSWER(AB)>=ANSWER(BC),则有ANSWER(AB)>sum[x],证明A点优于B点，可去掉B点。所以单调队列维护下凸壳

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代码

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int n,m,q[500001],head,tail; ull sum[500001],f[500001];
ull in(){
    ull ans=0; char c=getchar();
    while (c<48||c>57) c=getchar();
    while (c>47&&c<58) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
    return ans;
}
ull print(ull ans){if (ans>9) print(ans/10); putchar(ans%10+48);}
ull up(int i,int j){return f[i]+sum[i]*sum[i]-f[j]-sum[j]*sum[j];}//分子
ull down(int i,int j){return (sum[i]-sum[j])<<1;}//分母
ull dp(int i,int j){return f[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;}//dp的答案
int main(){
    while (scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        f[0]=q[head=tail=1]=0;
        for (register int i=1;i<=n;i++){
            sum[i]=sum[i-1]+in();
            while (head<tail&&up(q[head+1],q[head])<=sum[i]*down(q[head+1],q[head])) head++;
            f[i]=dp(i,q[head]);
            while (head<tail&&up(i,q[tail])*down(q[tail],q[tail-1])<=up(q[tail],q[tail-1])*down(i,q[tail])) tail--;//答案更优
            q[++tail]=i;
        } 
        print(f[n]); putchar('\n');
    }
    return 0;
}