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是一道好题了……一直在WA，不知道是哪里写彪了，后来，没想到，竟然是没考虑到前面所有的数都和在一起才是最小值的可能，就举个例子吧：

5 10000000
0 0 0 0 0
ans:10000000
 
5 100000000
0 2 3 4 5
ans:100000196

但是，我们若是没关注到这个问题的话，初始的值会极其的大，会多出来一个M的值，所以要考虑到初始值的问题，就是给队列的头放成0，这样的话，就可以解决上面的问题，不然的话，就会不断的往上面走，但是初始会多出来一个M。

剩下的就是斜率优化DP的模板了，但具体讲一下推理的公式：

对于dp[i] = min( (sum[i] - sum[j])^2 + M + dp[j] );(j < i)

dp[i] = min( sum[i]^2 + sum[j]^2 - 2*sum[i]*sum[j] + M + dp[j] );

为了寻找到i之前最优的j，我们假设有这样的存在k<j<i，但是j是i之前的最优解，于是有：

sum[i]^2 + sum[j]^2 - 2*sum[i]*sum[j] + M + dp[j] < sum[i]^2 + sum[k]^2 - 2*sum[i]*sum[k] + M + dp[k];

进行化简，会得到：

sum[j]^2 - 2*sum[i]*sum[j] + dp[j] < sum[k]^2 - 2*sum[i]*sum[k] + dp[k];

我们再把带有i的值的移到一边去，于是有：

sum[j]^2 + dp[j] - ( sum[k]^2 + dp[k] ) < 2 * sum[i] * ( sum[j] - sum[k] );

于是，会得到一个可以假设的斜截式：

( sum[j]^2 + dp[j] - ( sum[k]^2 + dp[k] ) ) / (2 * ( sum[j] - sum[k] )) < sum[i];

那么，假设这样的斜率表达式：

令yj = sum[j]^2 + dp[j]; 令yk = sum[k]^2 + dp[k];

令xj = 2 * sum[j]; 令xk = 2 * sum[k];

于是，原式等于：(yj - yk) / (xj - xk) < sum[i];

此时，就是j比k更优的情况，我们根据这个不等式，就可以列写出单调队列了，

在0～j之中，j一定是最优解，因为sum记录的是前缀和，所以，它是单调递增的，存在sum[i+x] > sum[i] > (yj - yk) / (xj - xk);

那么，接下来只需要考虑i+1~i+x之间的点了，若是之间有这样的更优解的话，那么，j这个节点就不需要再保存了，我们把jpop()就是了，此时，点i入队，比较i点与队列尾的点q[tail]、q[tail-1]的斜率：K1、K2；

若是K1<=K2，则将q[tail]去除吧，之后是肯定不会用这个点了的，因为，它没有它的前一个节点优效，我们这样逐一比较，直到队列的节点不剩下的时候（其实那会应该剩下一个我们最初放入的0号节点，保证了可能是从第一位开始向后加的情况的元素），或者是K1>K2的时候，我们结束循环，并且继续下一个元素。

对了，head处理之后，会有dp[]的赋值，此时取队首即可，因为那就是最优解了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define SonG_y main
#define MP(x, y) make_pair(x, y)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
const int maxN = 5e5 + 7;
int N, M;
ll sum[maxN] = {0}, dp[maxN] = {0}; int q[maxN] = {0};
inline ll Det_Y(int i, int j) { return sum[i] * sum[i] + dp[i] - ( sum[j] * sum[j] + dp[j] ); }
inline ll Det_X(int i, int j) { return 2 * (sum[i] - sum[j]); }
inline void solve()
{
    int head = 1, tail = 0;
    q[++tail] = 0;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        while(head < tail && Det_Y(q[head+1], q[head]) <= sum[i] * Det_X(q[head+1], q[head]) ) head++;
        dp[i] = (sum[i] - sum[q[head]]) * (sum[i] - sum[q[head]]) + M + dp[q[head]];
        while(head < tail && ( Det_Y(i, q[tail]) * Det_X(i, q[tail-1]) ) <= ( Det_Y(i, q[tail-1]) * Det_X(i, q[tail] )) ) tail--;
        q[++tail] = i;
    }
    printf("%lld\n", dp[N]);
}
inline void init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    memset(q, 0, sizeof(q));
}
int SonG_y()
{
    while(scanf("%d%d", &N, &M)!=EOF)
    {
        init();
        for(int i=1; i<=N; i++)
        {
            scanf("%lld", &sum[i]);
            sum[i] += sum[i-1];
        }
        solve();
    }
    return 0;
}

Print Article 【HDU - 3507】【DP斜率优化推导】

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