斜率优化讲解 （例题：Print Article HDU - 3507 斜率优化）

斜率优化的学习：

题意：

将序列划分，每段花费如题：区间和平方+m； 求最小花费；

思路：

用dp[i] 表示前i个数划分的最优解，sum[i] 表示前i个数的和

显然dp[i] = max ( dp[j] + (sum[i]-sum[j])² + m ) for j : 0 to i-1;  复杂度O(n²)：×

即需用到“斜率优化”；

对于一般的n²-dp方程，可能有dp[i] = f[j] + x[i] + k ： dp[i]为到i的最优解，f[j] 为只包含j的一些已知条件（一般包括dp[j]），x[i] 为只包含x的一些值，k为常数，，我们也可以把 x[i]和k 都看做常数，因为对于某个i，我们寻找j 的时候，这两个都是定值，所以求解的时候只需要维护 f[j] 的最优情况即可；复杂度O(n);   (这种情况不是斜率优化，在这里不适用)

斜率优化就是可以转化为斜率关系的dp转移方程，能够将前面一些明显不能帮助后面得到最优情况的点去掉，降低了复杂度；

将dp方程转化为斜率关系需要处理前面多个点的关系；对于本题：

首先化简dp方程：dp[i] = dp[j] + sumi² + sumj² - 2*sumi*sumj + m;

对于 k < j < i ； 求解dp[i] 时，我们设 选择 j 点更新dp[i] 比 选择 k 点更优，

那么： dp[j] + sumj² - 2*sumi*sumj < dp[k] + sumk² - 2*sumi*sumk

=>  [ (dp[j] + sumj²) -  (dp[k] + sumk²) ] ÷ [ sumj - sumk ]  <  2*sumi    ：  这就斜率形式的关系，①

令 d[j,k] = [ (dp[j] + sumj²) -  (dp[k] + sumk²) ] ÷ [ sumj - sumk ],， 可以形式化的表征 k-j 线段的斜率

由上面我们可以得到：对 dp[i] 求解时，若d[j,k] < sumi，那么说明 d[j,k] < sumx （x>=i），即 j点更优，k点可以去掉

然后我们考虑 k < j < i 三点时 d[i,j] < d[j,k] , d[i,j] = d[j,k] 和 d[i,j] > d[j,k] 三种情况：

<1.>  d[i,j] < d[j,k] 时： 若d[i,j] < sumi ，i优，j可以去掉，若d[i,j] >= sumi，则d[j,k] > sumi, k优，j可以去掉 

<2.>  d[i,j] = d[j,k] 时： 若d[i,j] < sumi ，i优，j可以去掉，若d[i,j] = sumi，j不是唯一最优，可以去掉，若d[i,j] > sumi，则d[j,k] > sumi, k优，j可以去掉 

<3.>  d[i,j] > d[j,k] 时：略

综上：d[i,j] <= d[j,k]  可以去掉 j点 ，达到优化的目的，用队列维护前面的点

这样在更新dp[i] 时，对于维护的 i 点前的一些点，相邻的三个点 a,b,c 都有d[c,b] > d[b,a] ; 当d[b,a] <= sumi 时，b点更优，a点可以去掉，否则a点即为更新i点的最优点

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 7;
int dp[maxn];
int sum[maxn];
int n, m;
int qu[maxn];
int get1(int i, int j) {
    return (dp[i]+sum[i]*sum[i] - dp[j]-sum[j]*sum[j]);
}
int get2(int i, int j) {
    return 2*(sum[i]-sum[j]);
}
bool is_ok(int k, int j, int i) {
    return (get1(i,j)*get2(j,k) <= get1(j,k)*get2(i,j) );
}
int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &sum[i]);
        }
        qu[0] = sum[0] = dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            sum[i] += sum[i-1];
        }
        int idl = 0, idr = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            while(idl < idr && get1(qu[idl+1],qu[idl])<=sum[i]*get2(qu[idl+1],qu[idl])) idl++;
            int j = qu[idl];
            dp[i] = dp[j] + (sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]) + m;
            while(idr>idl && is_ok(qu[idr-1],qu[idr],i)) idr--;
            qu[++idr] = i;
        }
        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}