51 Nod 1134 最长递增子序列（动态规划基础）

题目分析：长度为 $n$ 的数列 $A$ 有多达 $2^{n}$ 个子序列，但我们应用动态规划法仍可以很高效地求出最长递增子序列（ $LIS$ ）。这里介绍两种方法。

先考虑用下列变量设计动态规划的算法。这里设输入数列的第一个数为 $A[1]$ 。

$L[n+1]$	一位数组， $L[i]$ 为由 $A[1]$ 到 $A[i]$ 中的部分元素构成且最后选择了 $A[i]$ 的 $LIS$ 的长度。
$P[n+1]$	一位数组， $P[i]$ 为由 $A[1]$ 到 $A[i]$ 中的部分元素构成且最后选择了 $A[i]$ 的 $LIS$ 的倒数第二个元素的位置（记录当前以得出的最长递增子序列中，各元素前面一个元素的位置）

有了这些变量，动态规划法求 $LIS$ 的算法便可以这样实现。

LIS()
    L[0] = 0
    A[0] = 0    // 选择小于 A[1] 到 A[n] 中任意一个数的值进行初始化
    P[0] = -1
    for i = 1 to n
        k = 0
        for j = 0 to i - 1
            if A[j] < A[i] && L[j] > L[k]
                k = j
        L[i] = L[k] + 1  // 满足 A[j] < A[i] 且 L[j] 最大的 j 即为 k
        P[i] = k         // LIS 中 A[i] 的前一个元素为 A[k]

上述动态规划法的复杂度为 $O(n^{2})$ ，无法在限制时间内解开 $n = 100000$ 的问题。因此我们需要考虑效率更高的解法。

实际上，只要把动态规划与二分搜索结合起来，就能进一步提高求解最长递增子序列的效率。这种算法要用到下列变量：

$L[n]$	一维数组， $L[i]$ 表示长度为 $i+ 1$ 的递增子序列的末尾元素最小值
$length_{i}$	整数，表示前 $i$ 个元素构成的最长递增子序列的长度

LIS()
    L[0] = A[0]
    length = 1
    for i = 1 to n - 1
        if L[length] < A[i]
            L[length++] = A[i]
        else
            L[j] (j = 0, 1, ..., length - 1) 中第一个大于等于 A[i] 的元素 = A[i]

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 100000
using namespace std;

long long n, A[MAX + 1], L[MAX];

int lcs() {
    L[0] = A[0];
    int length = 1;
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (L[length - 1] < A[i]) {
            L[length++] = A[i];
        } else {
            *lower_bound(L, L + length, A[i]) = A[i];
        }
    }
    return length;
}

int main() {
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> A[i];
        
    cout << lcs() << endl;
    
    return 0;
}

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