度度熊看球赛

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Problem Description

世界杯正如火如荼地开展！度度熊来到了一家酒吧。

有 N 对情侣相约一起看世界杯，荧幕前正好有 2×N 个横排的位置。

所有人都会随机坐在某个位置上。

当然，如果某一对情侣正好挨着坐，他们就会有说不完的话，影响世界杯的观看。

一般地，对于一个就座方案，如果正好有 K 对情侣正好是挨着坐的，就会产生 DK 的喧闹值。

度度熊想知道随机就座方案的期望喧闹值。

为了避免输出实数，设答案为 ans，请输出 ans×(2N)! mod P 的值。其中 P=998244353

Input

有多组数据（不超过 1000 组），读到EOF结束。

对于每一组数据，读入两个数 N 和 D 。

1≤N,D≤1000

Output

对于每一组数据，输出一个数表示答案。

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Sample Input

1 10

2 3

Sample Output

104

题意:

有n对情侣，2n个位置，当有k对情侣坐在一起的时候，就会产生D^k的喧闹值

问你喧闹值的期望*(2n)! MOD 998244353的值

解析：

一开始想了dp,但是我用dp[i][j]标记前i位，已经j对情侣坐在一起，但这个有点问题,

因为不知道在前i位里面有多少情侣是不坐在一起的。所以看了题解...他把i换成了前面已经坐i对情侣了

官方题解

此题有两种做法，这里介绍一种比较精妙的DP做法。
先把一组情侣的两个人看做是相同的（最后方案数要乘上 $2^N$ ）。

设 $f_{i,j}$ 表示，一共有 $i$ 对情侣，且正好有 $j$ 对是挨着坐的。
每次考虑把第 $i+1$ 对情侣放进去：
（1）这对情侣合在一起放。
①放在某一对挨着的情侣中间（拆散他们）： $F_{i+1,j}+=F_{i,j} \times j$
②放在情侣之间的空隙里： $F_{i+1,j+1}+=F_{i,j} \times (2 \times i-j+1)$
（2）这对情侣分开放。
①他们各自都拆散了一对情侣： $F_{i+1,j-2}+=F_{i,j} * (j * \frac{(j-1)}{2})$
②只有一个人拆散了一对情侣： $F_{i+1,j-1}+=F_{i,j} \times (2 \times i-j+1) \times j$
③没有情侣被拆散： $F_{i+1,j}+=F_{i,j} \times ((2 \times i-j+1) \times \frac{2 \times i-j}{2})$

这样我们就能在 $O(N^2)$ 的时间里预处理出所有情况。
对于每一组询问，我们只要 $O(N)$ 扫一遍计算一下答案即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long ll;

const ll MOD = 998244353;
const int MAXN = 1E3+10;

int dp[MAXN][MAXN];
int two[MAXN];

int main()
{
    int n,m;
    two[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;i++)
    {
        two[i]=1ll*two[i-1]*2%MOD;
    }
    dp[0][0]=1;
        for(int i=0;i<1000;i++)
        {
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                ll tmp=2*i-j+1;
                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+1ll*dp[i][j]*j%MOD)%MOD;
                dp[i+1][j+1]=(dp[i+1][j+1]+1ll*dp[i][j]*(tmp)%MOD)%MOD;
                if(j-2>=0)
                dp[i+1][j-2]=(dp[i+1][j-2]+1ll*dp[i][j]*((j*(j-1)/2)%MOD)%MOD)%MOD;
                if(j-1>=0)
                dp[i+1][j-1]=(dp[i+1][j-1]+1ll*dp[i][j]*j%MOD*(tmp)%MOD)%MOD;
                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+1ll*dp[i][j]*((tmp*(tmp-1)/2)%MOD)%MOD)%MOD;
            }
        }
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {

        int ans=0;
        int temp=1;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            ans=(ans+1ll*dp[n][i]%MOD*temp%MOD*two[n]%MOD)%MOD;
            temp=1ll*temp*m%MOD;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

HDU 6377 度度熊看球赛(概率dp预处理)

度度熊看球赛

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