五大经典算法一 递归与分治

我们要讲到分治算法，我觉得有必要说一下递归，他们就像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生许多高效的算法。

递归算法：直接或者间接不断反复调用自身来达到解决问题的方法。要求原始问题可以分解为相同问题的子问题。、

需要：

1 递归边界 2 自身调用

特点分析：

递归思路简单清晰，如果分析出将很快得到结果;递归将多次调用，使用到堆栈，算法效率低，费时费内存。

常用场景：阶乘，斐波纳契数列、汉诺塔问题，整数划分，枚举排列及二叉树，图的搜索相关问题。

例题1： Hanoi问题

有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至B杆：每次只能移动一个圆盘；大盘不能叠在小盘上面。问：如何移？最少要移动多少次？

设hanoi(n,x,y,z)表示将n个圆盘从x通过y移动到z上则有递归模型：

hanoi:move(n,x,z)   when n==1

hanoi:hanoi(n-1,x,z,y);move(1,x,z);hanoi(n-1,y,x,z) when n>1

     
     
void move(int no,char s,char d)
{ cout<< “第”<<no<< “个盘，从”<<s<< “移动到”<<d<< endl;
}
void hanoi(int n,char x,char y,char z){
if(n== 1)move(n,x,z);
else {
hanoi(n -1,x,z,y);
move(n,x,z);
hanoi(n -1,y,x,z);
}
}
     
     

验证hanoi(3,’a’,’c’,’b’):

第1个盘，从a移动到b
第2个盘，从a移动到c
第1个盘，从b移动到c
第3个盘，从a移动到b
第1个盘，从c移动到a
第2个盘，从c移动到b
第1个盘，从a移动到b

例题2： 整数划分问题

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+…+mi，其中1<=mi<=n，则称{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。如果{m1,m2,..,mi}最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)。例如n=4时，有4}，{3，1}，{2，2}，{2，1，1}，{1，1，1，1}这样的5个划分则f(n,4)=5。下面将用递归法求f(n,m)：

a)当n==1时，不论m何值，都只有一种划分{1};

b)当m==1时，不论n何值，都只有一种划分{1,1,…,1};

c)当n==m时，

     分划分中包含n时只有一种;

     当划分中不包含n即最大值小于m时有f(n,m-1)种;

故f(n,n)=1+f(n,n-1);

d)当n<m时，类似f(n,n)

e)当n>m，这是最一般情况，

      若划分中包含m，即{{x1,x2,…,xi},m}，x1+x2+…+xi=n-m，则f(n,m)=f(n-m,m);

      若划分中不包含m，即划分中值都比m小，f(n,m)=f(n,m-1)

故总数 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1)

则递归模型：

f(n,m)=1 when n==1 or m==01

f(n,m)=f(n,n) when m>n

f(n,m)=1+f(n,m-1) when m==n

f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1) when m<n

     
     
int splitint(int n,int m){
if(n== 1||m== 1) return 1;
if(n<m) return splitint(n,n);
else if(n==m) return ( 1+splitint(n,m -1));
else return(splitint(n-m,m)+splitint(n,m -1));
}
     
     

例题3： 枚举排列问题
输出一个数的枚举排列或者一个序列的全排列，递归生成是一种很方便的做法。

先说枚举排列，输入一个整数n，按照大小输出1～n的所有排列如n=3时所有·排列结果：123，132，213，231，312，321

先输出以1开头的排列

再输出以2开头的排列

。。。

最后输出以n开头的排列

故这需要一个1-n的循环即可，循环内部就是一个排列生成过程。

以i开头的排列的特点是，第一位是i，后面是(1,2,…,i-1,i+1,..,n)的排列，按照定义(1,2,…,i-1,i+1,..,n)也必须按照大小顺序排列，故可以采用递归。设递归函数为permutation(int a[],int n,int cur)，其递归模型：

输出已排好序列a  when n==cur，cur为当前需要确定的元素位置

for 从小到达每个元素v

permutation(a+v,n,cur+1)

     
     
void permutation(int a[],int n,int current){
if(current==n){
for( int i= 0;i<n;i++) cout<<a[i]<< " "; cout<< endl;
}
else {
for( int i= 1;i<=n;i++)
{ int f= 0;
for( int j= 0;j<current;j++)
if(a[j]==i)f= 1; //a[0]-a[current-1]是已经排好的
if(f== 0){a[current]=i;permutation(a,n,current+ 1);}
}
}
}
     
     

具体分析：

当第一次进入循环时,i=1，最后输出以1开始的两个序列123 132

上述排列程序只使用任意两个元素均不相同的序列，若有一个序列P，并且P中含有相同的元素，则根据上面程序进行修改

由于数组P可能有重复元素故需要注意两点：

1 为避免排列序列重复，首元素应避免一样;

2 非首元素重复允许

     
     
void permutation1(int a[],int n,int p[],int current){
if(current==n)
{ for( int i= 0;i<n;i++) cout<<a[i]<< " "; cout<< endl;
}
else {
for( int i= 0;i<n;i++)
if(!i||p[i]!=p[i -1]) //防止重复
{
int f= 0; int num= 0;
for( int j= 0;j<n;j++) if(p[i]==p[j])num++;
for( int j= 0;j<current;j++)
if(a[j]==p[i])f++;;
if(f<num){a[current]=p[i];permutation1(a,n,p,current+ 1);}
}
}
}
     
     

216题也类似：

Find all possible combinations of k numbers that add up to a number n, given that only numbers from 1 to 9 can be used and each combination should be a unique set of numbers.

Example 1:

Input: k = 3, n = 7

Output:

[[1,2,4]]

Example 2:

Input: k = 3, n = 9

Output:

[[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

     
     
class Solution {
public:
void helper_combination13(int k,int start,int target,vector<int>&item,vector< vector<int> >&res){
if(target< 0||(target!= 0&&item.size()==k)) return;
if(item.size()==k&&target== 0){res.push_back(item); return;}
for( int i=start;i< 10;i++)
{
item.push_back(i);
helper_combination13(k,i+ 1,target-i,item,res);
item.pop_back();
}

}
vector< vector< int> > combinationSum3( int k, int n){
vector< vector< int> >res;
vector< int> item;
helper_combination13(k, 1,n,item,res);
return res;
}
};
     
     

例题4： 二叉树或者图的问题

这一类问题基本上是递归最常用的场景，在分析树或者图时已经应用很多不再赘述。

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我们要讲到分治算法，我觉得有必要说一下递归，他们就像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生许多高效的算法。

递归算法：直接或者间接不断反复调用自身来达到解决问题的方法。要求原始问题可以分解为相同问题的子问题。、

需要：

1 递归边界 2 自身调用

特点分析：

递归思路简单清晰，如果分析出将很快得到结果;递归将多次调用，使用到堆栈，算法效率低，费时费内存。

常用场景：阶乘，斐波纳契数列、汉诺塔问题，整数划分，枚举排列及二叉树，图的搜索相关问题。

例题1： Hanoi问题

有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至B杆：每次只能移动一个圆盘；大盘不能叠在小盘上面。问：如何移？最少要移动多少次？

设hanoi(n,x,y,z)表示将n个圆盘从x通过y移动到z上则有递归模型：

hanoi:move(n,x,z)   when n==1

hanoi:hanoi(n-1,x,z,y);move(1,x,z);hanoi(n-1,y,x,z) when n>1

  
  
void move(int no,char s,char d)
{ cout<< “第”<<no<< “个盘，从”<<s<< “移动到”<<d<< endl;
}
void hanoi(int n,char x,char y,char z){
if(n== 1)move(n,x,z);
else {
hanoi(n -1,x,z,y);
move(n,x,z);
hanoi(n -1,y,x,z);
}
}
  
  

验证hanoi(3,’a’,’c’,’b’):

第1个盘，从a移动到b
第2个盘，从a移动到c
第1个盘，从b移动到c
第3个盘，从a移动到b
第1个盘，从c移动到a
第2个盘，从c移动到b
第1个盘，从a移动到b

例题2： 整数划分问题

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+…+mi，其中1<=mi<=n，则称{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。如果{m1,m2,..,mi}最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)。例如n=4时，有4}，{3，1}，{2，2}，{2，1，1}，{1，1，1，1}这样的5个划分则f(n,4)=5。下面将用递归法求f(n,m)：

a)当n==1时，不论m何值，都只有一种划分{1};

b)当m==1时，不论n何值，都只有一种划分{1,1,…,1};

c)当n==m时，

     分划分中包含n时只有一种;

     当划分中不包含n即最大值小于m时有f(n,m-1)种;

故f(n,n)=1+f(n,n-1);

d)当n<m时，类似f(n,n)

e)当n>m，这是最一般情况，

      若划分中包含m，即{{x1,x2,…,xi},m}，x1+x2+…+xi=n-m，则f(n,m)=f(n-m,m);

      若划分中不包含m，即划分中值都比m小，f(n,m)=f(n,m-1)

故总数 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1)

则递归模型：

f(n,m)=1 when n==1 or m==01

f(n,m)=f(n,n) when m>n

f(n,m)=1+f(n,m-1) when m==n

f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1) when m<n

  
  
int splitint(int n,int m){
if(n== 1||m== 1) return 1;
if(n<m) return splitint(n,n);
else if(n==m) return ( 1+splitint(n,m -1));
else return(splitint(n-m,m)+splitint(n,m -1));
}
  
  

例题3： 枚举排列问题
输出一个数的枚举排列或者一个序列的全排列，递归生成是一种很方便的做法。

先说枚举排列，输入一个整数n，按照大小输出1～n的所有排列如n=3时所有·排列结果：123，132，213，231，312，321

先输出以1开头的排列

再输出以2开头的排列

。。。

最后输出以n开头的排列

故这需要一个1-n的循环即可，循环内部就是一个排列生成过程。

以i开头的排列的特点是，第一位是i，后面是(1,2,…,i-1,i+1,..,n)的排列，按照定义(1,2,…,i-1,i+1,..,n)也必须按照大小顺序排列，故可以采用递归。设递归函数为permutation(int a[],int n,int cur)，其递归模型：

输出已排好序列a  when n==cur，cur为当前需要确定的元素位置

for 从小到达每个元素v

permutation(a+v,n,cur+1)

  
  
void permutation(int a[],int n,int current){
if(current==n){
for( int i= 0;i<n;i++) cout<<a[i]<< " "; cout<< endl;
}
else {
for( int i= 1;i<=n;i++)
{ int f= 0;
for( int j= 0;j<current;j++)
if(a[j]==i)f= 1; //a[0]-a[current-1]是已经排好的
if(f== 0){a[current]=i;permutation(a,n,current+ 1);}
}
}
}
  
  

具体分析：

当第一次进入循环时,i=1，最后输出以1开始的两个序列123 132

上述排列程序只使用任意两个元素均不相同的序列，若有一个序列P，并且P中含有相同的元素，则根据上面程序进行修改

由于数组P可能有重复元素故需要注意两点：

1 为避免排列序列重复，首元素应避免一样;

2 非首元素重复允许

  
  
void permutation1(int a[],int n,int p[],int current){
if(current==n)
{ for( int i= 0;i<n;i++) cout<<a[i]<< " "; cout<< endl;
}
else {
for( int i= 0;i<n;i++)
if(!i||p[i]!=p[i -1]) //防止重复
{
int f= 0; int num= 0;
for( int j= 0;j<n;j++) if(p[i]==p[j])num++;
for( int j= 0;j<current;j++)
if(a[j]==p[i])f++;;
if(f<num){a[current]=p[i];permutation1(a,n,p,current+ 1);}
}
}
}
  
  

216题也类似：

Find all possible combinations of k numbers that add up to a number n, given that only numbers from 1 to 9 can be used and each combination should be a unique set of numbers.

Example 1:

Input: k = 3, n = 7

Output:

[[1,2,4]]

Example 2:

Input: k = 3, n = 9

Output:

[[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

  
  
class Solution {
public:
void helper_combination13(int k,int start,int target,vector<int>&item,vector< vector<int> >&res){
if(target< 0||(target!= 0&&item.size()==k)) return;
if(item.size()==k&&target== 0){res.push_back(item); return;}
for( int i=start;i< 10;i++)
{
item.push_back(i);
helper_combination13(k,i+ 1,target-i,item,res);
item.pop_back();
}

}
vector< vector< int> > combinationSum3( int k, int n){
vector< vector< int> >res;
vector< int> item;
helper_combination13(k, 1,n,item,res);
return res;
}
};
  
  

例题4： 二叉树或者图的问题

这一类问题基本上是递归最常用的场景，在分析树或者图时已经应用很多不再赘述。