递归分治算法-大整数乘法

问题描述：

设X和Y都是n位整数，计算它们的乘积XY。可以使用传统的数学计算方法，但是这样做计算步骤太多，效率较低。如果将每个一位数的乘法或加法看做一步运算，则这种方法需要进行O（n^2）步运算才能求出乘积XY。

方法一

基本计算步骤如下，如：56*78
第一步：6*8；
第二步：5*8；
第三步：6*7；
第四步：5*7；
第五步：以上4步的和加起来，得到最后的结果。
将以上的例子进行抽象，即可以这样表示：
将n位十进制（还包括其他进制，如二进制、八进制、十六进制等）整数X和Y都分为2段，每段的长为n/2位。即：
X=A∗10n2+BX=A∗10n2+B
Y=C∗10n2+DY=C∗10n2+D
这样XY的乘积就是
XY=(A∗10n2+B)∗（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BDXY=(A∗10n2+B)∗（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BD
由以上的等式我们可以看出，需要4次乘法，分别是：AC,AD,BC,BD,以及3次加法，还有3次移位操作。所有这些加法和移位公用O(n)步运算。设T（n）是2个n位整数相乘所需的运算总数，则有：

T(n) =

{O(1),4T(n2)+O(n),n =1 n>1{O(1),n =14T(n2)+O(n), n>1

然后，我们进行计算，得到该算法的时间复杂度为O(n^2),具体过程如下：
 

方法二

然后我们对于该问题进行优化，要想改进该算法的复杂性，必须减少乘法的次数。我们对以上的表达式进行一个优化，得到如下的表达式：
XY=（A∗10n2+B）（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BD=AC∗10n+((A−B)(D−C)+AC+BD)∗10n2+BDXY=（A∗10n2+B）（C∗10n2+D）=AC∗10n+（AD+BC）∗10n2+BD=AC∗10n+((A−B)(D−C)+AC+BD)∗10n2+BD
通过以上表达式变形，我们只需进行3次n/2位整数的乘法，6次加减法操作和2次移位。由此可得如下的表达式：
T(n) =

{O(1),3T(n2)+O(n),n =1 n>1{O(1),n =13T(n2)+O(n), n>1

再次进行计算，得到该算法的时间复杂度为O (nlog3)(nlog3) ,相比于O (n2)(n2) 来说，这是一个很大的改进。