2018.06.29 NOIP模拟 边的处理（分治+dp）

边的处理（side.cpp）
【问题描述】
有一个 n 个点的无向图，给出 m 条边，每条边的信息形如$<x,y,c,r>$。
给出 q 组询问形如$<u,v,l,r>$。接下来解释询问以及边的意义。询问表示，一开始你在点 u 上，然后按顺序处理编号从 l 到 r 的边。
对于一条边$<x,y,c,r>$，你可以进行两种操作：
1、如果你当前在 x 点或者 y 点上，那么你可以走这条边（从 x 到 y 或从 y 到 x）并付
出 c 的代价（当然你也可以不走，看操作 2）。
2、如果你不走这条边或者不可以走这条边（即你当前不在 x 或 y 上），那么你需要付出
r 的代价。
询问如果要从 u 点开始，按顺序处理完编号从 l 到 r 的边之后到达 v 点的最小代价，如
果不能到达 v，那么输出-1。
边和点的编号从 1 开始。
【输入格式】
第一行三个数表示 n,m,q。
接下来 m 行，每行四个整数 x,y,c,r 描述一条边。
接下来 q 行，每行四个整数 u,v,l,r 描述一组询问。
【输出格式】
输出共 q 行，每行一个数表示对应询问的答案。
【样例输入 1】
5 5 3
1 4 4 5
4 1 6 1
2 1 2 9
2 5 1 0
1 5 2 5
2 2 2 4
5 4 5 5
1 5 2 5
【样例输出 1】
10
-1
9
【样例输入 2】
4 8 6
2 4 5 8
2 4 4 8
2 3 6 4
1 4 5 0
2 4 10 10
1 3 5 2
3 2 2 9
3 4 1 1
3 2 1 5
3 1 2 2
1 1 1 7
2 3 2 4
3 3 1 7
1 2 2 5
【样例输出 2】
32
-1
41
14
36
27
【数据规模与约定】
对于 20%的数据：n≤10；m≤1000；q≤1000。
对于 40%的数据：n≤10；m≤10000；q≤30000。
对于 60%的数据：n≤20；m≤10000；q≤30000。
对于 80%的数据：n≤25；m≤10000；q≤200000。
对于 100%的数据：n≤30；m≤20000；q≤200000。
对于 100%的数据：c,r 的取值范围是[0,10000]。

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考试的时候读完题就感觉凉了，本蒟蒻和$yk$神仙一起尝试暴力骗$20$分，$yk$的$dp$轻松过掉前$4$个点，然而我连样例都没跑过，真是丢脸。

相信大家读完题后大家都能判断这是一道玄学$dp$，但再一看数据范围，大家估计都想大骂出题人毒瘤了。言归正传，这题怎么做呢？准确的说，这题如何优化$dp$呢？

好吧我们需要上一波分治，我们假设当前正在处理边的范围在$（l,r）$之间的询问，区间的中点为$mid$那么对于每个询问，它的左右端点有三种情况

1. 第一种情况：询问的右端点在$mid$的左边。
2. 第二种情况：询问的区间恰好包含了$mid$。
3. 第三种情况：询问的左端点在$mid$的右边。

对于情况一和情况三，显然我们可以递归处理，对于情况二，就要用到我们的$dp$了，由于题目上要求我们需要按序处理每条边。所以我们可以用$DP$得到$lf[i][x][y]$表示从$x$出发，处理了从$i$到$mid$的边之后到达$y$的最小代价，以及$rf[i][x][y]$表示从$x$出发，处理了从 $mid+1$到$i$的边之后到达$y$的最小代价，查询的时候只要枚举一下中间断点$k$,然后执行状态转移方程$ans[q[i].id]=min(ans[q[i].id],lf[q[i].l][k][q[i].u]+rf[q[i].r][k][q[i].v])$就行了 。

怎么求$lf$和$rf$呢？我们可以对于每一个点先假设它不走新的边，那么$lf[i][u][v]=lf[i+1][u][v]+e[i].r;$并且$rf[i][u][v]=rf[i-1][u][v]+e[i].r;$,如果这个点可以走新的边，那么我们用这条边连接的另外一个点的$lf$和$rf$的值来更新当前点的，也就是$lf[i][u][e[i].y]=min(lf[i][u][e[i].y],lf[i+1][u][e[i].x]+e[i].c);lf[i][u][e[i].x]=min(lf[i][u][e[i].x],lf[i+1][u][e[i].y]+e[i].c);$和$rf[i][u][e[i].y]=min(rf[i][u][e[i].y],rf[i-1][u][e[i].x]+e[i].c);rf[i][u][e[i].x]=min(rf[i][u][e[i].x],rf[i-1][u][e[i].y]+e[i].c);$

另一方面，为了给下一层的递归做准备，我们可以类比整体二分的思想，利用辅助数组重新排列修改过的$q$的顺序，实现细节详见代码。

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代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define Q 200005
#define M 20005
#define N 35
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,t,lf[M][N][N],rf[M][N][N],ans[Q];
struct node{int x,y,r,c;}e[M];
struct Node{int u,v,l,r,id;}q[Q],tmp[Q];
inline void solve(int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql>qr)return;
    if(l==r){
        for(int i=ql;i<=qr;++i){
            ans[q[i].id]=inf;
            if((q[i].u==e[l].x&&q[i].v==e[l].y)||(q[i].u==e[l].y&&q[i].v==e[l].x))ans[q[i].id]=e[l].c;
            if(q[i].u==q[i].v)ans[q[i].id]=min(ans[q[i].id],e[l].r);
        }
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)
            lf[mid+1][i][j]=rf[mid][i][j]=inf;
    for(int i=1;i<=n;++i)lf[mid+1][i][i]=rf[mid][i][i]=0;
    for(int i=mid;i>=l;--i){
        for(int u=1;u<=n;++u)for(int v=1;v<=n;++v)lf[i][u][v]=lf[i+1][u][v]+e[i].r;
        for(int u=1;u<=n;++u){
            lf[i][u][e[i].x]=min(lf[i][u][e[i].x],lf[i+1][u][e[i].y]+e[i].c);
            lf[i][u][e[i].y]=min(lf[i][u][e[i].y],lf[i+1][u][e[i].x]+e[i].c);
        }
    }
    for(int i=mid+1;i<=r;++i){
        for(int u=1;u<=n;++u)for(int v=1;v<=n;++v)rf[i][u][v]=rf[i-1][u][v]+e[i].r;
        for(int u=1;u<=n;++u){
            rf[i][u][e[i].x]=min(rf[i][u][e[i].x],rf[i-1][u][e[i].y]+e[i].c);
            rf[i][u][e[i].y]=min(rf[i][u][e[i].y],rf[i-1][u][e[i].x]+e[i].c);
        }
    }
    for(int i=ql;i<=qr;++i)
        if(q[i].l<=mid&&mid<q[i].r)
            for(int k=1;k<=n;++k)
                ans[q[i].id]=min(ans[q[i].id],lf[q[i].l][k][q[i].u]+rf[q[i].r][k][q[i].v]);
    int sl=ql-1,sr=qr+1;
    for(int i=ql;i<=qr;++i)tmp[i]=q[i];
    for(int i=ql;i<=qr;++i)if(tmp[i].r<=mid)q[++sl]=tmp[i];
    for(int i=qr;i>=ql;--i)if(tmp[i].l>mid)q[--sr]=tmp[i];
    solve(l,mid,ql,sl),solve(mid+1,r,sr,qr);
}
int main(){
    memset(ans,inf,sizeof(ans));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].r);
    for(int i=1;i<=t;++i)scanf("%d%d%d%d",&q[i].u,&q[i].v,&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    solve(1,m,1,t);
    for(int i=1;i<=t;++i)cout<<((ans[i]==inf)?-1:ans[i])<<'\n'; 
    return 0;
}