SPH算法的理论和实践（1）

前段时间做了一个有关于SPH算法的项目，现在正好抽空把它写出来。SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）是光滑粒子流体动力学方法的意思，说白了就是用粒子模拟流体的流动效果。由于项目当中涉及到利用SPH算法实现多流体混溶模拟，所以下面我会写针对单流体模拟和多流体混溶模拟分别进行介绍，在介绍之前还是先看看做出来的最终效果吧。

效果预览

单流体模拟的效果：

多流体混溶模拟的效果：

针对上述多流体混溶模型，利用marching cube算法进行液面绘制之后的效果：

1单流体理论部分

SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics)是光滑粒子流体动力学方法的缩写，是在近20多年来逐步发展起来的一种无网格方法。该方法的基本思想是将连续的流体用相互作用的粒子来描述，各个粒子上承载各种物理量，包括质量、速度等，通过求解粒子的动力学方程和跟踪每个粒子的运动轨道，求得整个系统的力学行为。

1.1粒子受力分析

SPH方法具体的数学公式可以看这篇文章，里面介绍的很详细，我当时也是看这篇文章入门的。不过在这里我还是简单介绍一下里面的几个基本公式：

SPH算法的基本思想，就是将连续的流体想象成一个个相互作用的粒子，这些粒子相互影响，共同形成了复杂的流体运动。

所以，该算法最关键的就是如何求解粒子的运动？我们通过对粒子进行受力分析，利用牛顿第二定理这里写图片描述，只要知道了粒子的受力，粒子的加速度自然就知道了，这样就可以跟踪粒子的运动，进而模拟出整个流体的动态效果。那如何求解粒子的力F 呢？

根据流体动力学，作用在粒子上的力由三部分组成：

其中，这里写图片描述表示外力，一般就是重力

注意：这里的力F的量纲发生了变化，正常情况下，F=m*g。但在SPH算法里，流体的质量是由流体单元的密度决定的，所以一般用密度代替质量，后面的分析都是用这个量纲的“作用力”

这里写图片描述表示压力，是由流体内部的压力差产生的作用力，试想一下在水管中流动的液体，进水口区域的压力一定会比出水口区域大，所以液体才会源源不断的流动，数值上，它等于压力场的梯度，方向由压力高的区域指向压力低的区域

这里写图片描述表示粘滞力，是由粒子之间的速度差引起的，设想在流动的液体内部，快速流动的部分会施加类似于剪切力的作用力到速度慢的部分，这个力的大小跟流体的粘度系数μ以及速度差有关

所以，最后得到粒子的受力公式

加速度形式：

至此，我们基本搞清楚了粒子的运动学计算方法。下面介绍SPH算法的关键部分，如何通过光滑核函数求解上述公式

1.2光滑核函数

和其他流体力学中的数学方法类似，SPH算法同样涉及到“光滑核”的概念，可以这样理解这个概念，粒子的属性都会“扩散”到周围，并且随着距离的增加影响逐渐变小，这种随着距离而衰减的函数被称为“光滑核”函数，最大影响半径为“光滑核半径”。

反过来不难理解，尽管我们将流体视为一个个分散的粒子，但流体毕竟是连续充满整个空间的，流体中每个位置参与运算的值都是由周围一组粒子累加起来的。

设想流体中某点 $\vec r$ （此处不一定有粒子）,在光滑核半径h范围内有数个粒子，位置分别是 $\vec r_0,\vec r_1,\vec r_2,...,\vec r_j$ ，则该处某项属性A的累加公式为：

其中 $\vec A_j$ 是要累加的某种属性， $m_j$ 和 $\rho_j$ 是周围粒子的质量和密度， $\vec r$ 是该粒子的位置， $h$ 是光滑核半径。函数 $W$ 就是光滑核函数。
光滑核函数两个重要属性，首先一定是偶函数，也就是 $W(−r)=W(r)$ ，第二，是“规整函数”，也就是 $∫W(r)dr=1$

SPH推导过程
假设流体中的一个粒子 $\vec r_i$ ,假设它的压力为 $\rho(r_i)$ ，密度为 $p(r_i)$ ,速度为 $\vec u(r_i)$ ,name我们可以根据上一节公式，得到该粒子的加速度 $\vec a(r_i)$ ：

\vec{a} (r_{i}) = \vec{g} - \frac{\nabla p (r_{i})}{ρ (r_{i})} + \frac{μ \nabla^{2} u (r_{i})}{ρ (r_{i})}

$\vec a(r_i)=\vec g - \frac{∇p(r_i)}{ρ(r_i)}+\frac{μ∇^2u(r_i)}{ρ(r_i)}$
对于SPH算法来说，基本流程就是这样，根据光滑核函数逐个推出流体中某点的密度，压力，速度相关的累加函数，进而推导出此处的加速度，从而模拟流体的运动趋势。

下面我们直接利用光滑核函数求解某点的密度，压力，速度的公式，具体的数学推导可以看这里。

密度
根据光滑核函数，用密度 $\rho$ 代替 $A$ ,可以得到

ρ (r_{i}) = \sum_{j} \frac{ρ_{j}}{m_{j}} ρ_{j} W ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}, h) = \sum_{j} m_{j} W ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}, h)

$\rho(r_i)=\sum_j\frac{ρ_j}{m_j}ρ_jW(\vec r_i−\vec r_j,h)=\sum_jm_jW(\vec r_i−\vec r_j,h)$

利用Poly6函数得到

ρ (r_{i}) = m \frac{315}{64 π h^{9}} \sum_{j} (h^{2} - | {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |)^{3}

$\rho(r_i)=m\frac{315}{64\pi h^9}\sum_j (h^2 - |\vec r_i - \vec r_j|)^3$

压强
对于单个粒子的压力 $p$ 可以利用理想气体状态方程计算

p = K (ρ - ρ_{o})

$p = K(\rho - \rho_o)$
其中

ρ_{0}

$\rho_0$ 是流体的静态密度，

K

$K$ 是和流体相关的常数，只跟温度有关。

压力
根据光滑核函数，用压力 $p$ 代替 $A$ ,可以得到

F_{i}^{p r e s s u r e} = - \nabla p ({\vec{r}}_{i}) = - \sum_{j} p_{j} \frac{m_{j}}{ρ_{j}} \nabla W ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}, h)

$F_i^{pressure}=-∇p(\vec r_i)=-\sum_j p_j \frac {m_j}{\rho_j} ∇W(\vec r_i - \vec r_j,h)$
利用Spiky函数，得到

a_{i}^{p r e s s u r e} = - \frac{\nabla p ({\vec{r}}_{i})}{ρ_{0}} = m \frac{45}{π h^{6}} \sum_{j} (\frac{p_{i} + p_{j}}{2 ρ_{I} ρ_{j}} (h - r)^{2} \frac{{\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}}{r})

$a_i^{pressure} = -\frac{∇p(\vec r_i)}{\rho_0}=m\frac{45}{\pi h^6}\sum_j (\frac{p_i+p_j}{2\rho_I\rho_j}(h-r)^2\frac{\vec r_i - \vec r_j}{r})$
其中

r = | {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |

$r = |\vec r_i - \vec r_j|$

粘滞力
根据光滑核函数，可以得到

F_{i}^{v i s c o s i t y} = μ \nabla^{2} \vec{u} (r_{i}) = μ \sum_{j} {\vec{u}}_{j} \frac{m_{j}}{ρ_{j}} \nabla W ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}, h)

$F_i^{viscosity}=\mu∇^2\vec u(r_i)=\mu \sum_j \vec u_j \frac {m_j}{\rho_j} ∇W(\vec r_i - \vec r_j,h)$
根据viscosity函数，得到

a_{i}^{v i s c o s i t y} = \frac{F_{i}^{v i s c o s i t y}}{ρ_{0}} = \frac{μ \nabla^{2} \vec{u} (r_{i})}{ρ_{0}} = m μ \frac{45}{π h^{6}} \sum_{j} (\frac{{\vec{u}}_{j} - {\vec{u}}_{i}}{ρ_{I} ρ_{j}} (h - r))

$a_i^{viscosity} = \frac{F_i^{viscosity}}{\rho_0}=\frac{\mu∇^2\vec u(r_i)}{\rho_0}=m\mu\frac{45}{\pi h^6}\sum_j (\frac{\vec u_j - \vec u_i}{\rho_I\rho_j}(h-r))$
其中

r = | {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |

$r = |\vec r_i - \vec r_j|$

粒子的运动方程
将上述压力和粘滞力带入这里写图片描述中，得到

\vec{a} (r_{i}) = \vec{g} + m \frac{45}{π h^{6}} \sum_{j} (\frac{p_{i} + p_{j}}{2 ρ_{I} ρ_{j}} (h - r)^{2} \frac{{\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}}{r}) + m μ \frac{45}{π h^{6}} \sum_{j} (\frac{{\vec{u}}_{j} - {\vec{u}}_{i}}{ρ_{I} ρ_{j}} (h - r))

$\vec a(r_i)=\vec g + m\frac{45}{\pi h^6}\sum_j (\frac{p_i+p_j}{2\rho_I\rho_j}(h-r)^2\frac{\vec r_i - \vec r_j}{r}) + m\mu\frac{45}{\pi h^6}\sum_j (\frac{\vec u_j - \vec u_i}{\rho_I\rho_j}(h-r))$
其中

r = | {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |

$r = |\vec r_i - \vec r_j|$

OK，我们终于推导除了粒子加速度 $\vec a(r_i)$ 的计算公式。那如何让这些公式在代码里跑起来呢？不用担心，这就是下一章我们要解决的问题了。