模板整理: 矩阵乘法

矩阵乘法是个灰常灰常有用的东西！
先是定义：

$$矩阵乘法\\ 设A，B均为矩阵，A_n，A_m分别表示矩阵A的行数和列数\\ 那么只有当A_m=B_n的时候，A*B才是可行的，\\ 设A_m=B_n，C=A*B，那么C_n=A_n，C_m=B_m，\\ C(i,j)=\sum A(i,k)*B(k,j)$$
由此我们知道这是O($N^3$)的，
似乎还有优化的，不过还是O($N^3$)性价比高……
模板：

//val[N][N]存值，mod是模数，不需要时直接去掉即可
//重载了运算符，这样C++代码里更方便了
struct Matrix{
    int val[N][N];
    Matrix(){memset(val,0,sizeof(val));}
    Matrix operator *(Matrix x){
        Matrix c;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                for (int k=1;k<=n;k++)
                    c.val[i][j]=(c.val[i][j]+val[i][k]*x.val[k][j]%mod)%mod;
        return c;
    }
};

接下来就是它的应用，矩阵乘法我就只讲两个应用了：
1.图邻接矩阵的x次方。
例题：bzoj1898
对于一张图，构造一个邻接矩阵A，A(i,j)=1当i->j这条边存在，不然就是0，
那么令$B=A^x$，B(i,j)表示i走到j恰好走x步的路径数。
很有用的东西！……原理不是非常懂，只能大概说说，
就是矩阵乘法是$C(i,j)=\sum A(i,k)*B(k,j)$ ，
就是i走到某一个点k的方案数和k走到j的方案数用乘法原理计算起来就行了。
2.优化某些有限项dp。
例题：poj3734
比较经典的是斐波那契数列$fib(i)=fib(i-1)+fib(i-2)$
因为不管i是多少，永远只和(i-1)，(i-2)项有关，
所以可以考虑能否去构造一个矩阵A，使得A*(i,i-1,i-2)->(i+1,i,i-1)
(i,i-1,i-2)表示构造出i，i-1，i-2有关的矩阵，具体应该有很多种方法。
又比如$f[i][j]=\sum f[i-1][k]，k满足某些条件，但是要满足k的关系不随i变化$
由于i项只和(i-1)项有关，所以对第二维构造一个矩阵，
然后令某个矩阵和它相乘，固定地从(i-1)推到i，

矩阵乘法的过程直接快速幂就好了。

//z的初始化是令它为单位矩阵
Matrix ksm(Matrix a,int y){
    Matrix z;
    for (int i=1;i<=n;i++) z.val[i][i]=1;
    while (y){
        if (y&1) z=z*a;
        y>>=1;a=a*a;
    }
    return z;
}