Codeforces 372 B. Counting Rectangles is Fun

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题目大意 :
给出一个 $n \times m$ 的 $01$ 矩阵，有 $q$ 次询问，每次给出一个矩形 $ x_1, x_2, y_1, y_2$ ，求有多这个矩形的有多少个全 $0$ 子矩形

$1 \leq n, m \leq 50, 1 \leq q \leq 3 \times 10^5$

解题思路 :

设 $g(x, y, l, r)$ 表示以 $x$ 为底，满足上边界 $\leq y$ , 左边界 $\geq l$ ，右边界 $\leq r$ 的矩形的数量

那么对于一组询问 $x_1, x_2, y_1, y_2$，$Ans = \sum_{i = x_1}^{x_2} g(x_2, x_1, y_1, y_2)$

所以直接考虑怎么求 $g(x, y, l, r)$ 即可，问题转化为上下左右边界已经框好，求有多少个贴着下边界的全 $0$ 子矩形

考虑维护一条从左边界到右边界的扫描线，每次计算当前的右端点向左延伸形成的子矩形的个数

考虑对于当前右端点 $r$ 有一个左端点 $l$, 设 $len(x, y)$ 表示从点 $(x, y)$ 向上能延伸的 $0$ 的个数

那么 $l, r$ 作为左右端点能形成的全 $0$ 子矩形的个数就是 $\min(len(x, j))\ \ l \leq j \leq r$

观察发现，对于每一个区间的答案其实就是这个区间 $len$ 的最小值，直接枚举左端点并用单调栈维护即可

此时求 $g$ 的复杂度是 $O(n^5)$ 级别，由于 $n, m$ 很小只有 $40$ 所以可以接受，之后的询问可以直接预处理答案，总复杂度是 $O(n^5 + q)$

/*program by mangoyang*/
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
    int f = 0, ch = 0; x = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
    if(f) x = -x;
}
#define N (45)
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define x2 xx2
#define y2 yy2
char s[N][N];
int f[N][N][N][N], g[N][N], xx[N], ff[N], n, m, q, top;
int main(){
    read(n), read(m), read(q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", s[i] + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            int tot = 0;
            for(int k = i; k >= 1; k--, tot++)
                if(s[k][j] == '1') break;
            g[i][j] = tot;
        }
    for(int x1 = 1; x1 <= n; x1++)  
        for(int x2 = x1; x2 <= n; x2++)
            for(int y1 = 1; y1 <= m; y1++){
                int res = 0; top = 0, xx[0] = y1 - 1;
                for(int y2 = y1; y2 <= m; y2++){
                    int len = Min(x2 - x1 + 1, g[x2][y2]);
                    while(top && len <= ff[top]) top--;
                    xx[++top] = y2, ff[top] = len;
                    for(int i = top; i >= 1; i--) res += (xx[i] - xx[i-1]) * ff[i];
                    f[x1][y1][x2][y2] = res;
                }
            }
    for(int x1 = 1; x1 <= n; x1++)
        for(int x2 = x1; x2 <= n; x2++)
            for(int y1 = 1; y1 <= m; y1++)
                for(int y2 = y1; y2 <= m; y2++) 
                    if(x2 > x1) f[x1][y1][x2][y2] += f[x1][y1][x2-1][y2];
    for(int i = 1, x1, x2, y1, y2; i <= q; i++){
        read(x1), read(y1), read(x2), read(y2);
        printf("%d\n", f[x1][y1][x2][y2]);
    }     
    return 0;
}