仔细数一下，就会发现一个三乘二的矩形网格中总共包含十八个矩形，如下：
尽管不存在一个矩形网格恰好包含两百万个矩形，求最接近两百万的矩形网格的面积。
分析：首先考虑更简单的情形，在一个一维的网格长度为三宽度为一的网络中包含多少个矩形？显然它包含三个长为一宽为一的矩形，两个长为二宽为一的矩形以及一个长为三宽为一的矩形，因此总的矩形数量为\(1+2+3=6\)。一般地，在一个长度为\(n\)的一维网络中，包含的矩形数量为\(1+2+3+\cdots+n=n(n+1)/2\)。进一步推广，在一个二维的矩形网格中，设其长度为\(X\)，宽度为\(Y\)，则其包含的矩形数量为：
\[ C=\frac{1}{2}X\left( X+1 \right) \times \frac{1}{2}Y\left( Y+1 \right) =\frac{1}{4}XY\left( X+1 \right) \left( Y+1 \right) \]
以上关系式是关于\(X\)和\(Y\)的二次方程，在已知\(Y\)和\(C\)的情况下，且令\(t=Y^2+Y\)，可以求得：
\[ X=\frac{-t+\sqrt{t^2+16ct}}{2t} \]
如果\(X\)与\(Y\)均为正整数，则是一组符合条件的解，因此在上述解中省略了负数项。我们的目标是找到距两百万最近的矩阵数量下符合条件的解，题目已经告诉我们不存在恰好矩阵数量为两百万的解，因此我们可以从距两百万为一的两个数开始排查，每次排查两个和两百万距离相等的数，设其为\(c_1,c_2\)。其次，我们要确定\(Y\)的取值范围，设\(X>Y\)，则有：
\[ \left( X^2+X \right) \left( Y^2+Y \right) =4C\Rightarrow Y^2+Y<2\sqrt{C}\Rightarrow 0<Y<\frac{\sqrt{8\sqrt{C}+1}-1}{2} \]
因此，每确定一个\(C\)值，就可以一个\(Y\)的取值范围，当在取值范围内搜索后不存在一对\((X,Y)\)的正整数解，则这个\(C\)值就不可能成为矩形网格的数量。如果找到了一对正整数解，则可以直接返回两个数的乘积，对应的即是距离两百万最近的矩形数量下矩形网络的面积。
# time cost = 194 µs ± 1.03 µs
from itertools import count
def main(N=2*10**6):
for dist in count(1,1):
c1,c2 = N-dist,N+dist
limit = int(((8*c2**0.5+1)**0.5-1)/2) + 1
for y in range(1,limit):
t = y*(y+1)
x1 = (-t+(t**2+16*c1*t)**0.5)/(2*t)
x2 = (-t+(t**2+16*c2*t)**0.5)/(2*t)
if x1.is_integer():
return x1 * y
if x2.is_integer():
return x2 * y