转：随机模拟-Monte Carlo积分及采样（详述直接采样、接受-拒绝采样、重要性采样）
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1. 直接采样
直接采样的思想是，通过对均匀分布采样，实现对任意分布的采样。因为均匀分布采样好猜，我们想要的分布采样不好采，那就采取一定的策略通过简单采取求复杂采样。
假设y服从某项分布p(y)，其累积分布函数CDF为h(y)，有样本z~Uniform(0,1)，我们令 z = h(y)，即 y = h(z)^(-1)，结果y即为对分布p(y)的采样。
2. 接收-拒绝采样
接受-拒绝采样的思想是，对于分布p(z)，很难通过直接采样进行采样，但是我们有q(z)，可以通过直接采样或其他采样进行采样，那么我们怎么可以通过q(z)采样得到p(z)的采样呢？
先看下图：
红色的是p(z), 蓝色的是q(z)，我们对q(z)乘一个参数k，让k能正好包住p(z)，那么对于每一个从q(z)得到的样本z0，我们有一定的概率接受它，概率的大小就是p(z0) / kq(z0)。很容易就能看出来，在p(z)和kq(z)相切的地方的采样，接受率就是1。那么有人问了，接受率能计算出来，但是我们对于一个样本z0，到底怎么判断是接受还是不接受啊？我们有u~Uniform[0,1]，对于每一个样本z0，我们一个u0，如果u0 <= p(z0) / kq(z0)，我们就接受，否则就拒绝。重复此过程，得到的样本就服从分布p(z)。
3. Monte Carlo 积分
蒙特卡洛方法的思想很简单，就是用随机投点法来模拟不规则图形的面积。
比如在1*1的矩形中，有一个不规则的图形，我们想要直接计算该图形的面积很困难，那怎么办呢？我们可以拿N个点，随机抛在1*1的矩形框中，数一下落入该不规则图形中的点的个数count，那么该不规则图形的面积就可以用count/N近似。
除了求面积，蒙特卡洛方法还有什么应用呢？
求积分。
作者：贰拾贰画生
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來源：简书
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