1：随机过程的平稳的理解
平稳其实是一类东西的定义，我们一般还要说，到多少阶平稳。
先说1阶的平稳。
每一个时刻，都是一个随机变量。
一个随机变量，会对应一个概率分布。
比如t0时刻那个随机变量的概率分布为f_t0(x)
t1时刻的是f_t1(x)
1阶平稳的定义就是这两个相等。
要说下这个相等是什么意思。
相等是指二者的概率分布相等。
也就说上述的两个函数，x取相同值的时候，函数的值都是一样的。
但是，这并不是说，在一次观察中，t0时刻和t1时刻观察到的函数的值是相同的。
x可能不同。
要注意x才是随机变量，x是由丢骰子决定的。
还有，t0和t1可以为任何时间。
你会发现，这意味着什么。
这至少已经意味着，这些被时间编号了的，所有的，随机变量的概率分布是相同的！
2：各态历经性的理解
遍历性，或者你说的各态历经性。
一个随机过程是t和事件的二元函数。
我们的每一次观察，观察到的每一个时刻的值，都是代入了某个事件和当前的时间t（假如以某个随机过程开始，我们也开始进行观察作为0时刻，因此，每一次重启这个随机过程，我们重新开始观察，又回到了0时刻。这个时间不是那种“绝对的”时间。）这两个参数得到的。
当我们进行下一次观察的时候，观察到的每一个时刻的值，同样是代入了某个时间和当前的时间t得到的。
假如我们能做无数次实验。
我们得到了无数组观察结果。
每一组观察结果都是从0时刻开始，到t_end观察结束.
重要的来了，我们可以算两种“均值”。
每一组观察结果的平均值。 这叫做时间平均。有多少次观察，就有多少个时间平均。（横向算均值）
还有就是，整个随机过程的每一个时刻，被看成了一个随机变量，每一个随机变量，都可以在概率上求平均，也就是期望。有多少个时刻，就有多少个这种平均，称为ensemble average.（纵向算均值）
初衷是，我们想要的是ensemble average ,而我们不可能做无数次实验。
问：能用仅仅用某一次观察的时间平均来估计ensemble average吗？
如果答案是yes，这个随机过程就 叫做各态历经（遍历）随机过程。
我们回到上面来看看ensemble average在通常情况下会是什么？
因为每一个时刻都是一个随机变量，那么它通常情况下是一个以t为自变量的函数。
代入不同的t，就是随机过程，对应的t时刻的随机变量的期望。
但是，一次观察的时间平均，会是一个不以t为自变量的常数。
这意味着，这个随机过程要满足各态遍历这个特点，首先需要满足的条件是：
这个随机过程每一个时刻对应的随机变量的期望是相等的。（纵向看 每一个时刻）
我们来看一个上面这个条件的充分条件非必要条件：
那就是每个时刻的随机变量的概率分布都是相同的。
这是一种极端的情况。
但是，在这种极端的情况下，你才能解释“遍历”两个字。
如果每一个时刻的随机变量的概率分布相同。
那么随机过程某个时刻对应的随机变量所有可能出现的值，也有可能在足够长的时间上，在一次对随机过程的观察中，从随机过程的不同个时刻对应的不同的随机变量出现的值里全部看到（遍历了一次，对吧）。因为随机过程每一个时刻对应的随机变量的概率分布是一样的。
当然，这是最极端的情况。
实际上，遍历的定义，至少这个词在随机过程里的定义，仅仅是从均值上来定义的。
即使一个随机过程是各态遍历的，上面那种真实的“遍历”情况也可能是不会发生的。
因为我们只在讨论均值。
作者：杨树下的狐狸
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来源：知乎
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