CF 888E Maximum Subsequence

一道比较套路的题，看到数据范围就差不多有想法了吧。

题目大意：给一个数列和\(m\)，在数列任选若干个数，使得他们的和对\(m\)取模后最大

取膜最大，好像不能DP/贪心/玄学乱搞啊。\(n\le35\)？果断meet in middle

考虑我们已经搜出了序列前一半的解，那么怎么根据后面的结果合并出结果？

设我们现在得到的和为\(x\)(对\(m\)取膜后)，我们令一个数\(y=m-x\)，然后在前面的解中查找\(y\)的前驱即可

接下来进行简单的证明：

• 若可以找到前驱\(z\)，由于\(z<y\)，故\(x+z<m\)。又因为\(z=max(s\in[1,y-1])\)，故此时值最大。
• 若无法找到前驱\(z\)，此时我们取任何一个值\(s\)都会导致\(x+s>x+y=m\)，此时\((x+s)\ mod\ m<x\)(这个很好理解吧)

于是我们每次都二分找出前缀，并取\(max\)即可。

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=40;
int a[N],n,m,sum[1<<20],cnt,ans;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
}
inline int find(int x)
{
    int l=1,r=cnt,res;
    while (l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if (sum[mid]<x) res=sum[mid],l=mid+1; else r=mid-1;
    }
    return res;
}
inline void init(int now,int tot)
{
    if (now>(n>>1)) { sum[++cnt]=tot; return; }
    init(now+1,(tot+a[now])%m); init(now+1,tot);
}
inline void DFS(int now,int tot)
{
    if (now>n) { ans=max(ans,tot+find(m-tot)); return; }
    DFS(now+1,(tot+a[now])%m); DFS(now+1,tot);
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(n); read(m);
    for (i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
    init(1,0); sort(sum+1,sum+cnt+1); DFS((n>>1)+1,0);
    return printf("%d",ans),0;
}